中考几何母题库（全部 274 道）

角

• 平行线拐点·猪蹄 — 两平行线间的拐点：过拐点作平行线，两次内错角 ⟹ 拐点角 ∠APB = ∠A + ∠B（猪蹄模型）。
• 飞镖模型 — 凹四边形（飞镖形）的凹点角：延长一边用两次三角形外角 ⟹ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
• 8字模型（蝴蝶） — 两线段相交成"8字"：对顶角相等 + 两三角形内角和 ⟹ ∠A + ∠B = ∠C + ∠D。
• 锯齿模型 — 猪蹄串联：折线在两平行线间左右交替拐弯，过拐点作平行线 ⟹ 奇数拐点角之和 = 两端角 + 偶数拐点角之和。
• 铅笔模型 — 平行线间拐角同朝一侧：过拐点作平行线，凑出 (n−1) 组同旁内角互补 ⟹ ∠和 = (n−1)·180°。
• 拉皮筋模型 — 两平行线钉住 A、B，拉动 P：P 在两线之间 ∠APB=∠A+∠B（和），拉到两线之外 ∠APB=|∠A−∠B|（差）。
• 12345 模型 · 两角和 45° — 矩形中 BE=DC=1、AB=a：AE=ED=√(a²+1) 且 AE²+ED²=AD² ⟹ △AED 等腰直角 ⟹ ∠EAD=45° ⟹ ∠BAE+∠FAD=45°；a=2 时 tan=½、⅓（12345）。
• 角平分线+平行线·等腰（MN=BM+CN） — ∠ABC、∠ACB 平分线交于 E，过 E 作 MN∥BC：角平分线遇平行得等腰 ⟹ BM=ME、CN=NE ⟹ MN=BM+CN。
• 两内角平分线夹角（∠BPC=90°+½∠A） — ∠ABC、∠ACB 的平分线交于 P：三个内角拼成平角，整条对折成直角 ⟹ ∠BPC=90°+½∠BAC。
• 一内一外角平分线夹角（∠BPC=½∠A） — ∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线交于 P：外角拼成一条再整条对折 ⟹ ∠BPC=½∠A。
• 两外角平分线夹角（∠BPC=90°−½∠A） — 两个外角∠CBE、∠BCF 的平分线交于 P：邻补角拼成平角、对折得直角 ⟹ ∠BPC=90°−½∠A。
• 角平分线+平行线·等腰（DO=DP） — OC 平分∠AOB、PD∥OB：平行线把∠POB 搬到 P 处成∠DPO，与∠DOP 恰成一对底角 ⟹ DO=DP。
• 角平分线+垂线·全等（PD=PE） — OC 平分∠AOB、P 在 OC 上，PD⊥OA、PE⊥OB：沿 OC 翻折两侧完全重合 ⟹ △ODP≌△OEP(AAS) ⟹ PD=PE。
• 角平分线+截长补短·全等（PD=PE） — 在角两边截取 OD=OE，P 在平分线上：沿 OC 翻折 D 恰落到 E ⟹ △ODP≌△OEP(SAS) ⟹ PD=PE。

全等

• 一线三等角·全等·同侧·直角 — K 字模型：一线三直角 + 中间斜边相等 ⟹ 全等，得线段和差 BC = AB + CD（异侧型 BC = AB − CD）。
• 一线三等角·全等·异侧·直角 — 异侧型：A、D 分居直线两侧，E 落在 BC 之外 ⟹ 全等，得线段差 BC = AB − CD（对照同侧型的 BC = AB + CD）。
• 一线三等角·全等·同侧 — 同侧：已知三等角 + AB=DC，拖 A 横扫锐↔钝，△ABD≌△DCE 恒成立（ASA），得 BD=CE、AD=DE。
• 一线三等角·全等·异侧 — 异侧：已知三等角 + AB=DC，拖 A 横扫锐↔钝，△ABD≌△DCE 恒成立（ASA），得 BD=CE、AD=DE。

相似

• 一线三等角·相似·同侧·直角 — 同侧 α=90°：三个直角共线 → △ABD∽△DCE → 对应边成比例。拖 A 改 AB，比例随之变。
• 一线三等角·相似·异侧·直角 — 异侧 α=90°：A 上 E 下，三直角共线 → △ABD∽△DCE → 对应边成比例。拖 A 改 AB，比例随之变。
• 一线三等角·相似·同侧 — 同侧：拖 A 横扫锐↔钝，∠ABD=∠ADE=∠DCE 恒相等 ⟹ △ABD∽△DCE → 对应边成比例。
• 一线三等角·相似·异侧 — 异侧：拖 A 横扫锐↔钝，∠ABF=∠ECB=∠ADE 恒相等 ⟹ △ABD∽△DCE → 对应边成比例。
• 一线三等角·综合模型 — 一图全包含：拖 A 改相等角 α（锐↔钝）与相似比，拉滑块在异侧 ⟷ 同侧间连续切换。
• 射影定理 — 直角三角形斜边上的高分出三组相似 △ACD∽△CBD∽△ABC，得 AC²=AD·AB、BC²=BD·AB、CD²=AD·BD。

旋转与构造

• 正方形·对角线模型一 — 正方形对角线 AC 上任意点 P 到另一对顶点等距：PB=PD（AC 平分∠BAD，且是 BD 的垂直平分线）。
• 正方形·对角线模型二 — 过正方形中心 O 的直线交一组对边于 M、N，则 OM=ON——任意过中心的直线都被 O 平分、把正方形分成两个全等部分。
• 正方形·十字架模型 — 正方形中两条互相垂直、端点在边上的线段必相等：BM⊥AN ⟹ BM=AN（ASA 全等，本质是绕中心旋转 90°）。
• 正方形·外角平分线模型 — P 在 BC 上，Q 在 C 的外角平分线（45°）上且 PA⊥PQ，则 PA=PQ——截 BE=BP 造 △AEP≅△PCQ。
• 手拉手模型 — 共顶点两个等边三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=60°、O 到两线等距、另有平行结论）。
• 手拉手模型·等腰直角 — 共顶点两个等边三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=90°、O 到两线等距、另有平行结论）。
• 手拉手模型·120°顶角 — 共顶点两个等边三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=120°、O 到两线等距、另有平行结论）。
• 手拉手模型·45°顶角 — 共顶点两个等边三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=45°、O 到两线等距、另有平行结论）。
• 手拉手模型·共线型 — A、C、E 共线，C为动点。同侧作等边△ABC和△CDE，连AD、BE产生手拉手全等。
• 手拉手模型·30°顶角 — 共顶点两个等边三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=30°、O 到两线等距、另有平行结论）。
• 手拉手·旋转造等边·半角模型三连 — 三连：(1)手拉手 ∠BCD=105°；(2)旋转造等边、三点共线，四边形周长=25；(3)半角旋转 化垂线段，费用=288000 元。
• 半角模型 — 正方形内 ∠EAF=45°，旋转补形+作垂线，一图五结论：EF=BE+DF、△CEF周长恒定、A到EF距离恒等于边长等。
• 半角·进阶（对角线勾股） — 正方形对角线 BD 上 M=AF∩、N=AE∩：MN²=DM²+BN²（勾股）、EF=√2MN、△AMN∽△AEF、△AME/△ANF 等腰直角。
• 半角·外夹 — 半角夹在正方形外（E、F 在边的延长线上）：内旋补形得 DF=BE+EF（最长段=另两段和），AF 平分∠DFE。
• 半角·一般化（120°夹60°） — 半角不止正方形：对角互补四边形顶角120°、半角60°，同一套旋转照样得 EF=BE+DF。
• 手拉手·DF最小值 — 等边△ABC，D为BC中点，E在⊙(D,2)上动，AE绕A转60°得AF。手拉手：△ADE≌△AD′F (SAS)⟹DE=D′F=2，DF≥DD′−2=6√3−2。
• 脚拉脚模型 — 两等腰直角三角形共顶点 A（顶角互补）、F 为 CE 中点 ⟹ BF=DF、BF⊥DF（△BFD 等腰直角）。
• 脚拉脚·顺序型 — 两等腰直角三角形顺序共顶点 A、连 BD 与 CE 交于 F ⟹ CE=√2·BD，∠BFC=45°。
• 脚拉脚·顶角互补 — 两等腰三角形顶角互补、共顶点 C、F 为 BE 中点 ⟹ AF⊥DF 且 DF/AF=tan(β/2)。
• 奔驰模型·等边三角形 — 等边△ABC 内一点 PA=3、PB=4、PC=5：绕 A 旋 60° 把三段接成 △PP′B（3,4,5 直角）+ △APP′ 等边 ⟹ ∠APB=60°+90°=150°，面积=(25√3+36)/4。
• 矩形十字架（垂直⟹相似） — 矩形 ABCD 对折使 B、D 重合，折痕 MN⊥BD：作 ME⊥BC 得 △MNE∽△DBA ⟹ MN=BD·ME/AD=15/2。正方形里垂直⟹相等，矩形里垂直⟹相似。
• 旋转90°·△CDE面积最值 — △ABC中AB=2,∠B=60°,∠ACB=45°,D为BC上动点,AD绕A转90°得AE,△CDE面积最大3/2。

几何最值

• 将军饮马 — 直线同侧两点 A、B，在直线上求一点 P，使 PA+PB 最短。
• 费马点 — 三角形内求一点 P，使 PA+PB+PC 最小——旋转 60° 化为折线 B-P-P′-C′，四点共线时最短=BC′。
• 胡不归 — 动点 P 在射线上，求 PB + ½·PA 最小——构造角化斜为直。
• 阿氏圆 — 到两定点距离之比为定值 k(≠1) 的点轨迹是圆；滑块调 k，k=1 时退化为中垂线，并严格证明。
• 阿氏圆最值 — 点 P 在圆上求 PA + ½·PB 最小——子母相似把带权项化成普通线段。
• 将军饮马·角内动点 — 角内定点 P，两边各一动点 M、N：双重对称将周长化为折线 P′-M-N-P″，四点共线时最小=P′P″。
• 将军饮马·过河造桥 — 两平行岸之间建垂直桥（桥长=河宽定值）：平移 A 一个河宽，连 A′B 定桥位，最短=A′B+河宽。
• 将军饮马·同岸滑动桥 — 同侧两村+定长桥沿岸滑动：先平移桥长化成基础将军饮马，再对称，A″、Q、B 三点共线时最短=A″B+桥长。
• 将军饮马·单点往返过桥 — 单点出发过定长桥再返回：先平移桥长化成基础将军饮马，再对称，A、Q、A″ 三点共线时最短=AA″+桥长。
• 将军饮马·线段差最小 — 同侧两点 |PA−PB| 最小：当 PA=PB 时为 0，P 取 AB 中垂线与 l 的交点。
• 将军饮马·同侧线段差最大 — 同侧两点 |PA−PB| 最大：由三角形两边之差≤第三边，三点共线时 |PA−PB|=AB 最大。
• 将军饮马·异侧线段差最大 — 异侧两点 |PA−PB| 最大：先把 B 对称到同侧 B′，化成同侧线段差，三点共线时 =AB′ 最大。
• 等边△APQ周长最小值 — △ABC中BC=8、S△ABC=40，P在BC上动，AP上方作等边△APQ。周长=3·AP≥3·hA=30，AP⊥BC时取等。
• 对称+平移·AD+OE最小值 — Rt△ABC中∠B=90°，AB=BC=4，O为AC中点，D、E在BC上且DE=1。对称A→A′、平移O→O′，AD+OE=A′D+O′D≥A′O′=√37。
• 垂线段最短·原理 — 直线外一点到直线上各点的距离，垂线段最短；面积法求垂线段长 CH=AC·BC/AB=12/5。
• 垂线段最短·折线(AM+MN) — 折线 AM+MN（M 在 DE、N 在 BC 上）最小 = 定点 A 到对边 BC 的垂线段 AQ；折线化直 + 垂线段最短两步下界。
• 垂线段最短·中点转化 — AEPF 矩形 ⟹ AM=½AP，再用垂线段最短求 AM 范围 30/13≤AM<6（PDF 例1）。
• 垂线段最短·隐圆 — 定角 90° 对动弦 EF ⟹ EF 是外接圆直径、EF=√2·PE，再垂线段最短求 EF 最小=4√2（PDF 实战12）。
• 垂线段最短·旋转造直线 — 旋转全等 ⟹ F 轨迹为过 B 的定直线（∠CBF=30°），再垂线段最短求 DF 最小=2√3（PDF 实战11）。
• 垂线段最短·角平分线半段 — 30°角把 ½PB 化为垂线段 PE，再垂线段最短求 MP+½PB 最小=7√3/2（PDF 变式4）。
• 垂线段最短·对称化 — 作 B 关于角平分线 AD 的对称点 B′（落在 AC 上）⟹ BE+EF 化直为 B′F，再垂线段最短求最小=24/5（PDF 实战8）。
• 胡不归·应用（2AD+DC 最小） — △ABC ∠A=90°/∠B=60°/AB=2，D 在 BC 上：过 C 作 ∠BCE=30°、DF⊥CE ⟹ DF=½DC ⟹ 2AD+DC=2(AD+DF) 最小=2·(A 到 CE 距离)=6。
• 阿氏圆最值·延长构造（系数>1） — ⊙O 内 CM+2DM（系数2>1）：延长 OB 到 T 使 OT=12 ⟹ OM²=OD·OT ⟹ △MOD∽△TOM ⟹ MT=2DM，化成 CM+MT≥CT=4√10。
• 梯子模型·斜边中点（OC 最大） — ∠MON=90°，AB=8 两端在两边滑动：取斜边中点 E ⟹ OE=½AB=4 定值（E 在定圆上）、CE=2√13 定值 ⟹ OC≤OE+CE，共线时最大=4+2√13。
• 梯子最值·猫抓老鼠（DE 最小） — 梯子 MN=4 沿墙角下滑，猫 E 在 MN 中点 ⟹ BE=½MN=2 定值（E 在半径2定圆上）；老鼠 D 到两墙距离3、2、BD=√13 ⟹ DE≥BD−BE，最小=√13−2。
• 逆等线·等腰三角形（CD+BE 最小） — 等腰△ABC 中 AD=CE（逆等线），连 CD、BE：作 AM∥BC 且 AM=CB ⟹ △ADM≅△CEB ⟹ BE=DM，CD+BE=CD+DM≥CM=√97。
• 逆等线·直角三角形（BD+CE 最小） — Rt△ACB（∠C=90°、AB=6、BC=4）中 AD=BE（逆等线）：作 BF∥AC 且 BF=AB ⟹ △ADB≅△BEF ⟹ BD=EF，BD+CE=EF+CE≥CF=2√13。
• 加权逆等线·直角三角形（AE+2CD 最小） — BC⊥AB、BC=AB=3，CE=2BD（加权逆等线）：作 CF⊥CB 且 CF=2CB ⟹ △FCE∽△CBD ⟹ EF=2CD，AE+2CD=AE+EF≥AF=3√10。
• 逆等线·直角+相似（CD+BE 最小，求 AE） — Rt△ABC（∠C=90°、AC=4、BC=2√5）中 AD=CE：作 CF∥AB 且 CF=AC ⟹ △ADC≌△CEF ⟹ CD=EF，CD+BE=EF+BE≥BF，共线时 CE=8/5 即 AE=12/5。
• 将军饮马·最短路径三连 — 三连：(1)BP最小=AB·BC/AC=12/5；(2)一次对称 PB+PE=B′E=√5；(3)两次对称 CE+EF+FC=C₁C₂=3000，BE=500、DF=1000。
• 旋转造等边·化动线段为垂线段最短 — 三连：(1)等边折叠 PQ>QH；(2)▱对角线 BE=2EF，垂线段 BE最小=16；(3)旋转全等 AG=A′F，垂线段 AG最小=8km、费用 80 万元。
• 垂美四边形·对称化直最值 — 四边形ABCD中AB=6 AD=2 BD⊥AD S=10√2，C在BD平行线上，对称A→A′化AC+BC≥A′B=4√6。
• Rt△双对称·四边形周长最值 — Rt△ABC中M,N在AB上定点，P在AC、Q在BC上动，四边形MNPQ周长最小时∠NPQ+∠MQP=2∠C=100°。
• 旋转60°·CE+DF最小值 — Rt△ABC ∠C=90° ∠A=30° AC=6，D在AC上AD=2，E在AB上动，E绕A顺转60°得F。旋转+对称双变换：min(CE+DF)=2√13。
• 梯形对角线之和最大值 — 梯形ABCD AD//BC AD=8 BC=12，对角线交于O ∠AOD=120°。作DE∥AC→▱ACED→转化BD+DE→BM+EN≤BE→max=40√3/3。

圆·轨迹·隐圆

• 直径隐圆 — ∠APB 恒为 90° 的动点 P，轨迹是以 AB 为直径的圆——拖出隐藏的圆。
• 瓜豆原理·种圆得圆 — 主动点在圆上、从动点绕定点旋转定角，则从动点轨迹也是圆（半径相同、圆心转定角）。
• 瓜豆原理·种线得线 — 主动点在线段上、从动点绕定点旋转定角，则从动点轨迹也是线段（同步旋转的像）。
• 瓜豆原理·应用最值 — 正方形+等边△，动点 F 带动 G。瓜豆找 G 的轨迹线，再用垂线段最短求 CG 最小=5/2。
• 瓜豆原理·种圆得圆最值 — 中考真题：⊙C 上动点 P 绕 A 转 90° 得 P′，瓜豆找从动圆 ⊙C′，点圆最值连心线求 BP′ 最小=2。
• 矩形折叠最值 — 矩形沿折痕翻折，折叠不变长造出隐圆（B′到A定长），再用点圆最值（连心线）求 DB′ 最小。
• 定角定弦·隐圆 — 定弦 AB + 定角 ∠APB，动点 P 的轨迹是过 A、B 的圆弧（隐圆）。定角定弦必有隐圆，可证四点共圆。
• 定点定长·导角 — 四边形中 AB=AC=AD（三条共端点等长线段）⟹ B、C、D 在以 A 为圆心的隐圆上；等腰导出圆心角 ∠CAD=76°，圆周角 ∠CBD=½∠CAD=38°。
• 定点定长·求对角线 BD — 四边形 DC∥AB、BC=1、AB=AC=AD=2 ⟹ B、C、D 在隐圆上。延长 BA 得直径 BF=4，平行弦等弧 DF=BC=1，∠FDB=90° ⟹ 勾股 BD=√15。
• 定点定长+中位线·OM 最大 — BC=2 ⟹ C 在以 B 为圆心半径 2 的隐圆上；取 D(−4,0)，OM 是△ACD 中位线 ⟹ OM=½CD；CD 最大在 D、B、C 共线 ⟹ CD=4√2+2、OM=1+2√2。
• 矩形直角隐圆·DP 最短求 CP — 矩形 AB=4、AD=2，AP⊥BP ⟹ P 在以 AB 为直径的圆上。连 OD，DP 最短=2√2−2（D、P、O 共线）；作 PE⊥CD ⟹ PE=2−√2、CE=2+√2，勾股 CP=2√3。
• 正方形外直角隐圆+中点·CF 最大 — ∠AEB=90° ⟹ E 在以 AB 为直径的圆上；连 DM 取中点 G，中位线 GF=½ME=1 ⟹ F 在 ⊙G(半径1) 上；CF≤CG+1，共线取等 ⟹ CF 最大=√13+1。
• 定弦定角·面积最大 — 弦 AB=10、∠APB=60° 定弦定角，P 在圆弧上 ∠APB 恒定。S△PAB=½·AB·h，h 最大在弧中点 ⟹ h=5√3、S_max=25√3。
• 定弦定角·点圆最值（相对运动） — ∠AOB=45°、CD=2、等腰直角△CDE。相对运动：固定 CD 让 O 动 ⟹ O 在定弦定角圆 ⊙O₂ 上（半径 √2）；作垂线+勾股算得 O₂E=√10，OE≤√2+√10，共线取等 ⟹ OE 最大=√2+√10。
• 对角互补造隐圆·定比 EF/BE — 矩形 AB=3、BC=5，E 在 AC 上、EF⊥BE 交 DC 于 F。∠BEF=∠BCF=90° ⟹ 对角互补 B、C、F、E 共圆；同弧 ∠EBF=∠ECF=∠ACD ⟹ EF/BE=AD/CD=5/3（定比）。
• 对角互补造隐圆·中点 DE 最小 — ∠BAD=∠BCD=90° ⟹ A、B、C、D 共圆、BD 直径；∠ACD=30°⟹△OAD 等边半径2；AO 中点 F，中位线 EF=1 ⟹ E 在 ⊙F 上；Rt△OFD 勾股 DF=√3；DE≥DF−1，共线取等 ⟹ DE 最小=√3−1。
• 对角互补造隐圆·求 OC — 正方形边长2，CE=DF，AF、DE 交于 O，BO=BA=2。△ADF≌△DCE⟹∠AOD=90°⟹ABEO 对角互补共圆；圆中等弦 BO=BA⟹BE=1；DE=√5、相似+勾股⟹OC=2√10/5。
• 定弦定角·矩形边上∠BPC=60°的点P — 矩形BC=4、AB=2√3（⊙O切AD），BC定弦、∠BPC=60°定角→P在圆弧上；弧切AD于P₂、交AB于P₁、CD于P₃。
• 定角定中线·△ABC面积最大 — ∠ACB=60°、中线CD=3。倍长得平行四边形→定弦CE=6定角∠CBE=120°→B在圆弧上→面积最大=3√3。
• 定角定中线·BC 最大 — ∠BAC=120°、中线AD=6。倍长得▱→AE=12定弦∠ACE=60°定角→C在圆弧上→BC=2CD→BC最大=12√3。
• 定角定高·BC 最小 — ∠BAC=60°、AD⊥BC于D、AD=3。作⊙O→设BC=2x→OA+OE=√3x≥3→x≥√3→BC=2√3。
• 定角定角平分线·AB+AC 最小 — ∠BAC=120°、AD平分∠BAC、AD=2。作DE⊥AB/DF⊥AC得DE=DF=√3，旋转△BDE→△B′DF转化为定角定高，AB+AC最小=8。
• 定角定角平分线·面积最小 — ∠BAC=90°、AD平分∠BAC、AD=6。作DE⊥AB/DF⊥AC得正方形AEDF(面积18)，旋转△BDE→△B′DF转化为定角定高，面积最小=36。
• 扇形折叠·四边形 OEDF 面积最小 — 扇形AOB中OA=6、∠AOB=60°，沿EF折叠O落到弧上D。OEDF为筝形S=3·EF，△OEF定角60°定高3⟹EF最小2√3⟹面积最小6√3。
• 扇形折叠·OEDF面积最小·定角定高 — 同题第二解法(定角定高外接圆)：S=3·EF，∠EOF=60°圆周角⟹O、E、F共圆，EF=R倍根号3(R为外接圆半径)；O到弦距≤3R/2、定高3⟹R≥2，等边时圆最小R=2、EF最小2倍根号3⟹S最小6倍根号3。
• 旋转60°·DF最小值 — 等边△ABC，D为BC中点，E在⊙(D,2)上动，AE绕A转60°得AF。手拉手：△AEF与△ADD′共顶点两个等边三角形，瓜豆：E轨迹圆→F轨迹圆，minDF=6√3−2。
• 米勒定理·最大张角 — 梯形ABCD中AD∥BC、CD⊥BC、∠ABC=60°、AD=8、BC=12。过B/C作⊙Q切AD于P时∠BPC最大，cos∠BPC最小=1/7。
• 中点轨迹圆 · AD+BC 最大值 — 取 DC 中点 M ⟹ AD+BC=2·(M 到 AB 距离)；斜边中线 ME=½DC=2√5 定值 ⟹ M 在以 E 为圆心的定圆上；圆心在 AB 上 ⟹ 最大距离=半径 ⟹ AD+BC≤4√5、面积=32（PDF 第13题）。
• 定点定长·点圆最值 — 矩形中 M 是 B 关于直线 AP 的对称点：AM=AB=3 定长 ⟹ M 在以 A 为圆心半径 3 的隐圆上；点圆最值 MC≥AC−3=2（A、M、C 共线取等）。
• 直角造隐圆 · 点圆最值 — 正方形 E、F 同速 ⟹ △ABE≅△DAF ⟹ AF⊥BE ⟹ ∠APB=90° ⟹ P 在以 AB 为直径的圆上；点圆最值 DP≥DG−1=√5−1（D、P、G 共线取等）。
• 直角梯形动点 · AQ⊥DP 隐圆求最值 — 直角梯形 AP:BQ=5:6 ⟹ AQ⊥DP ⟹ ∠AMD=90° ⟹ M 在以 AD 为直径的圆上；点圆最值 BM≥BO′−r=520−200=320，此时 S四边形MQCD=2016000/13≈155077 m²。
• 中点弧+内心·鸡爪定理（DB=DC=DI） — △ABC 内心 I，AI 延长交外接圆于 D（弧 BC 中点）：弧中点得 DB=DC；外角导角得 ∠DBI=∠DIB ⟹ DI=DB ⟹ DB=DC=DI（鸡爪定理）。

四边形

• 正方形·对角互补模型 — P 在正方形外接圆 BC 弧上（∠BPD=90°）：过 A 作 AE⊥AP 构造等腰 Rt△PAE + △ABP≌△ADE ⟹ PB+PD=√2·PA。
• 正方形·八字模型 — P 在正方形外接圆 BC 弧上（∠BPC=135°），绕 C 旋转 90° ⟹ 线段差 PD−PB=√2·PC（对角互补模型的"差"版）。
• 垂美四边形 — 对角线互相垂直的四边形：AC⊥BD ⟹ 对边平方和相等 AB²+CD²=AD²+BC²（四个直角三角形勾股相加）。
• 菱形动点定值·ME+NF — 菱形中 AM=BN 的动点 M、N 到对角线 BD 的距离之和为定值：借矩形转化 ME=OH、全等转化 FN=AH，合成 ME+NF=OA=√15/2。
• 面积定值·菱形外挂平行四边形 — 菱形ABCD中AB=12、∠ADC=60°，P在CD上，过A作EF∥BP且EF=BP：▱BEFP的面积恒等于菱形面积——两次同底等高（等积变形）⟹ S=BC·DH=72√3。
• 双中点·中位线（EF=½BD） — AD=AC、AE⊥CD ⟹ E 是 CD 中点（三线合一）；F 是 BC 中点 ⟹ EF 是△CDB 中位线 ⟹ EF=½BD。两个中点想到中位线。

面积平分问题

• 等分面积·三中线六等分三角形 — △ABC三条中线交于重心G，中线平分面积(S△ABD=S△ACD=½S△ABC)，重心分中线2:1，六个小三角形面积都=⅙S△ABC。
• 等分面积·过三角形边上一点作平分线 — D在AC上，取BC中点E、过A作AM∥DE交BC于M：AM∥DE等积换得S△DAE=S△DME，故S△DMC=S△ACE=½S△ABC，DM平分△ABC。
• 等分面积·过四边形顶点作平分线 — 过四边形顶点A平分：连BD取中点E得S四边形ABCE=½S四边形ABCD，过E作EM∥AC交BC于M，等积变换化ABCE为△ABM，AM平分四边形。
• 等分面积·过四边形边上一点作平分线 — E在AD上：过A作AF∥EB、过D作DG∥EC交BC于F、G，等积变换得S四边形ABCD=S△EFG，取FG中点M，EM平分四边形。
• 等分面积·中线倍长求S△CDF — AD中线⟹S△ACD=½S△ABC；DE=DA同底DC⟹S△DCE=S△ACD；DF中线⟹S△CDF=½S△DCE=¼S△ABC。S△ABC=2时S△CDF=½。
• 等分面积·矩形中点连线求ABGD — 矩形ABCD中E、F为BC、CD中点，DE、BF交于G(⅔b,⅓a)。S四边形ABGD=S矩形−S△GBC−S△GCD=⅔ab。
• 等分面积·筝形PQ平分求CQ — 筝形AB=BC=4/AD=CD=8/∠A=∠C=90°。割补法：连AC、BE∥AC把四边形割补成等积△AED，P落在AD边上，模型1-02求Q，CQ=16/7。
• 等分面积·五边形过顶点平分求直线 — 五边形ABOCD（坐标）S=12，过顶点A的直线交OC于M(1.5,0)使两部分各6，直线AM:y=(8/3)x−4。
• 等分面积·五边形过顶点平分(等积变换) — 过五边形顶点A平分：连AO作BB₁∥AO、连AC作DD₁∥AC两次等积变换，把五边形化为等积△AB₁D₁，取B₁D₁中点M连AM即平分，M在OC上、直线y=(8/3)x−4。
• 等分面积·正五边形作平分线 — 正五边形是轴对称图形，连一顶点A与对边CD中点M，AM是对称轴，把正五边形分成全等(等积)两半。
• 等分面积·圆的两直线四等分 — 圆是中心对称图形，过圆心任一直径平分面积；过圆心作两条互相垂直的直径，得四个全等扇形，各¼。
• 等分面积·平行四边形过定点平分 — 平行四边形是中心对称图形，中心O为对角线交点；过中心的任一直线平分面积，连PO并延长即所求。
• 等分面积·平行四边形外点平分求线段 — 过 AD 延长线上一点 E 的直线平分 ▱ABCD 面积 ⟹ 直线必过中心 O；△AON≌△COM 得 AN=CM，再由 △EDM∽△EAN 列比例求 CM=9/4。
• 等分面积·组合六边形平分 — 矩形挖去小正方形得六边形。矩形、正方形都中心对称，连矩形中心O₁与正方形中心O₂的直线同时平分两者，故平分其差(六边形)。
• 等分面积·矩形花园两路四等分 — 矩形花园四块相等⟹MN、EF都过中心O。M定得N(80,0)、MN=60√2；A区=1500定得E(0,12)/F(100,48)、EF=4√706；MN+EF=60√2+4√706。
• 等分面积·菱形边上定点平分求截线长 — 菱形中心对称 ⟹ 平分线必过中心 O；△AOE≌△COF（ASA）得 CF=AE=2；作两条高线借矩形转化，Rt△EGF 勾股得 EF=√(27+1)=2√7。

勾股与折叠

• 折叠的本质 — 折叠=轴对称全等变换：折叠前后全等、折痕垂直平分对应点连线、折痕又是角平分线——所有折叠题的地基。
• 折叠·勾股设方程 — 折叠出现直角三角形：A 翻折落到 BC 上 D，由 AE=DE 设未知数，在 Rt△DCE 中用勾股列方程求 DE（中点时 =25/8）。
• 折叠·一线三等角 — 矩形沿 AE 折叠、D 落在 BC 上 F：B、F、C 共线得一线三直角 K 型 ⟹ EC=3；E 动时 F 沿圆弧（隐圆）。
• 折叠产生等腰三角形 — 矩形沿对角线 BD 折叠，BC′ 交 AD 于 F，重叠 △BFD 等腰：折叠等角 + 平行内错角 ⟹ 两底角相等 ⟹ BF=DF。
• 折叠出现菱形 — 矩形折叠使 C 与 A 重合，折痕 EF：折痕垂直平分 AC、与 AC 互相平分 ⟹ 四边形 AECF 是菱形。
• 折叠产生等边三角形 — 矩形对折得中位线 EF，A 沿 BP 折到 EF 上 M：折叠 BM=BA、中位线 MA=MB ⟹ 三边相等 ⟹ △ABM 等边。
• 赵爽弦图 — 赵爽弦图：四个全等直角三角形拼成大小两正方形，面积关系直接证明勾股定理 a²+b²=c²。
• 圆柱体蚂蚁最短路径 — 圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁从下底 A 爬到上底对面 B，最短路径 = √(πr)²+h²。原题 r=4, h=16 → AB=20。
• 折叠·Rt△BD最大值 — Rt△ABC折叠△PBC（P在AB上），B→B′。由CB′=CB=12得B′在⊙(C,12)上，B′D=12−CD≤12−CH=96/13。
• 折叠矩形·PM+MN+GN最小值 — 矩形ABCD中AD=6,AB=4，△AEF沿EF折叠得G。P为CD中点，M,N在BC上MN=1。求PM+MN+GN最小值。
• 等边三角形的 378·578 模型 — 给定 AB=AC=8、BD=3、DC=5、AD=7：BC=BD+DC=8 ⟹ AB=BC=CA=8 ⟹ △ABC 等边、三角 60°；△ABD(3,7,8)、△ADC(5,7,8) 共高 4√3 ⟹ 面积 6√3、10√3。
• 菱形中的折叠·对折到中心 — 菱形 ABCD 把顶点 A 折到对角线交点 O：折痕 EF⊥AC ⟹ EF∥BD，且过 AO 中点 ⟹ E、F 是 AB、AD 中点 ⟹ EF 是△ABD 中位线 ⟹ EF=½BD（边2、∠B=60°时=√3）。

函数与几何

• 一次函数图象·上下平移与水平平移 — 同时展示 y=kx+b 与 y=k(x−h) 两种视角；b 和 h 联动；显示直线与 x 轴夹角 θ，k = tan θ。
• 一次函数图象·对称变换 — 原直线 y=kx+b（黑），分别关于 x 轴、y 轴、原点对称得新直线（彩虚），直观对比 k 和 b 的变化规律。
• 一次函数·坐标三角形面积（S=b²/2|k|） — 直线 y=kx+b 交两轴于 A、B，与 O 围成 △OAB：OA=|b/k|、OB=|b| ⟹ S=½·OA·OB=b²/(2|k|)，斜率定时面积∝b²。
• 将军饮马·一次函数（PC+PD 最小） — C、D 同侧、P 在 x 轴：作对称点 C′ ⟹ PC+PD=PC′+PD≥C′D，求直线 C′D 解析式令 y=0 定 P=(4,0)，最小=4√2。
• 搭桥·一次函数（AM+桥+NB 最短） — 桥 MN 垂直河岸定长：把 A 沿桥向平移得 A′ ⟹ AM=A′N，AM+NB=A′N+NB≥A′B，求直线 A′B 定桥位 N=(3,0)，最短=2√13+2。
• 等腰三角形存在性·两圆一线 — △ABP 等腰、P 在 x 轴：分 PA=PB（中垂线）、AP=AB（圆A）、BP=AB（圆B）三类，两圆一线与 x 轴相交共 5 个 P。
• 等腰三角形存在性·面积定C+等腰定P — y=4/3x+8过A(−6,0)、B(0,8)。C在坐标轴S△ABC=12得4个C；P在x轴△ABP等腰，两圆一线得4个P。
• 等腰三角形存在性·代数法 — 代数法盲算：A(−6,0)、B(0,8)，P(t,0)使△ABP等腰。设P(t,0)算PA²/PB²/AB²，三边两两相等分三类：PA=PB得7/3、PA=AB得4或−16、PB=AB得6(−6舍)，共4个P。与两圆一线几何版一题多解。
• 直角三角形存在性·两线一圆 — y=−4/3x+4过A(3,0)、B(0,4)，AB=5。C在坐标轴上使△ABC直角，两线一圆：过A、B作AB垂线得C₁(0,−9/4)、C₂(−16/3,0)，以AB为直径圆过O得C₃=O。共3个C。与代数法一题多解。
• 直角三角形存在性·代数法 — y=−4/3x+4过A(3,0)、B(0,4)，AB=5。C在坐标轴上使△ABC直角，代数法盲算：设C(t,0)/(0,s)算AC²/BC²/AB²，按斜边分三类，C=A、C=B退化舍，得C₁(0,−9/4)、C₂(−16/3,0)、C₃=O。共3个C。与两线一圆几何版一题多解。
• 直角三角形存在性·平移 — 直线AB:y=−½x+1沿l:y=x+1平移距离d，△A′B′C直角三角形：∠A′CB′=90°得d=3√2/2，∠A′B′C=90°得d=3√2，∠B′A′C无解。
• 等腰直角三角形存在性·直角边 — y=2/3x+2过A(−3,0)/B(0,2)。D在第二象限、△DAB以AB为直角边等腰直角：∠A=90°得D₁(−5,3)，∠B=90°得D₂(−2,5)。
• 等腰直角三角形存在性·两个正方形 — y=2/3x+2过A(−3,0)/B(0,2)，AB=√13。D在第二象限、△DAB以AB为直角边等腰直角。两个正方形法：AB两侧作正方形，顶点(直角边)+中心(斜边)得6个等腰直角顶点，筛第二象限+直角边得D₁(−5,3)、D₂(−2,5)。与直角边构造版一题多解。
• 平行四边形存在性·中点坐标法 — 矩形折叠B落AD上G(0,4−√3)，EF:y=−√3x+4+√3。M在EF、N在坐标轴使MNFG平行四边形，对角线三配对共4个M。
• 平行四边形存在性·坐标平移法 — 矩形折叠B落AD上G(0,4−√3)，EF:y=−√3x+4+√3。M在EF、N在坐标轴使MNFG平行四边形，坐标平移法：对边平行且相等(平移向量)定M——FG对角线M=F+G−N、FG为边M=N+G−F(N在x/y轴)、GF为边M=N+F−G。共4个M。与中点坐标法一题多解。
• 菱形存在性·两圆一线 — 直线y=x−2交轴A、B，C(0,4)。BC=6，D在AB上、BCDE菱形：BC对角线得E(−3,1)，BC为边得E(6,−2)、(3√2,4+3√2)、(−3√2,4−3√2)，共4个E。
• 菱形存在性·中点坐标法 — 直线y=x−2交轴A(2,0)/B(0,−2)，C(0,4)，BC=6。D在AB上设D(d,d−2)，BCDE菱形。中点坐标法盲算：对角线中点重合定E——①BC对角线E=2M−D=(−3,1)；②BC边邻C E=B+D−C=(6,−2)；③BC边邻B E=C+D−B=(±3√2,4±3√2)。共4个E。与两圆一线几何版一题多解。
• 矩形存在性·两线一圆 — 矩形OABC绕O转90°得△ODE，BD:y=−2/3x+8/3，S△BCF=4/3。矩形DFMN(M在轴)：两线一圆定直角顶点M、中点坐标法定N，共3个N。
• 矩形存在性·坐标平移法 — 矩形OABC绕O转90°得△ODE，BD:y=−2/3x+8/3交y轴F(0,8/3)。DFMN矩形(平行四边形+对角线相等)，坐标平移法定N：DF对角线N=D+F−M、DF边邻F N=D+M−F、DF边邻D N=F+M−D。M在坐标轴得3个N。与中点坐标法一题多解。
• 倍角·一次函数（∠PAO=2∠CAO） — 把 O 关于直线 AC 对称得 O′：AO=AO′ 等腰、AC 平分顶角 ⟹ 射线 AO′ 交 y 轴于 P，∠OAC=∠CAP ⟹ ∠PAO=2∠CAO。
• 一次函数·等腰直角△·全等求BC — y=-3/4x+3交坐标轴于A(4,0)、B(0,3)，以AB为边作等腰直角△ABC(∠BAC=90°)，作CD⊥x轴证△AOB≌△CDA得C(7,4)，BC解析式y=1/7x+3。
• 一次函数·折叠·全等求C — y=4/3x+4交坐标轴于A(-3,0)、B(0,4)，C在y轴上，沿AC折叠使B落在x轴D处→AD=AB=5→D(2,0)→CB=CD→勾股得C(0,1.5)。
• 一次函数·垂足·全等求B — A(0,4)，B、C在x轴上，BE⊥AC于E交y轴于D，BD=AC→勾股得B(−4,0)，△AOC≌△BOD。
• 一次函数与全等三角形 — 拖C看直线DE纹丝不动；对称造F+同加公共角得△FBC≌△ABD(SAS)⟹∠BDA=∠BCA⟹8字型(对顶角+内角和)导角∠DAC=60°⟹E(0,−√3)，待定系数得DE:y=√3x−√3；截AH=AC再全等得AD=AB+AC=3。
• 四边形面积最大·二次函数（铅垂高） — 连对角线 BC：S四边形ACPB=S△ABC+S△PBC，S△PBC=½·PH·水平宽，PH=-¾t²+3t 在 t=2 最大 ⟹ 四边形最大=13.5。
• 直角三角形存在性·二次函数（对称轴） — △BCQ 直角、Q 在对称轴：分 ∠Q（以 BC 为直径的圆）、∠B、∠C（两条垂线）三类，与对称轴交点共 4 个 Q。
• 平行四边形存在性·二次（第四顶点） — 平行四边形 ⟺ 对角线互相平分 ⟺ 中点重合 ⟺ 对顶点之和相等；按哪两点作对角线分三类，第四顶点共 3 个。
• 相似三角形·二次函数（△MON∽△BOC） — ∠MNO=∠BOC=90° 已有一组等角，只需两直角边成比例：ON∶NM=OB∶OC 或 OC∶OB，解出 M 在抛物线上 2 个位置。
• 二次函数+圆·平行四边形（求 PM） — AB 切 ⊙O 于 C；平行四边形 MOAC ⟺ MO=CA ⟺ M=(1,-1)，直线 OM:y=-x 交抛物线定 P，PM=OP-OM=√10。
• 二次函数+圆·加权最值（BP+½EP） — ⊙C 上动点 P：取 CF=½半径 ⟹ △CFP∽△CPE ⟹ FP=½EP，BP+½EP=BP+FP≥BF=√290/2。
• 倍角·二次函数（∠PAB=2∠ACO） — E 为 A 关于 y 轴对称点，△OCA≅△OCE ⟹ ∠ACE=2∠ACO、tan=¾ ⟹ AP 斜率=±¾ 交抛物线，P 有 2 个。
• 反比例 k·一点一垂线（S=½|k|） — P=(x,k/x) 向 x 轴作垂线 PA：OA=|x|、PA=|k/x| ⟹ S△OPA=½·|x|·|k/x|=½|k|，与 P 位置无关恒为定值。
• 反比例 k·两点一垂线（S矩形=|k|） — P₁、P₂ 在双曲线上，分别向坐标轴作垂线：两矩形面积 |x₁y₁|=|x₂y₂|=|k|，与位置无关恒为定值。
• 反比例 k·两点模型（△OAB 面积） — A、B 在双曲线上：S△OAB=½|x_Ay_B−x_By_A|=½k|a/b−b/a|，由坐标公式导出，面积随位置变化。
• 反比例 k·等积变形（面积守恒） — P 在双曲线上：矩形 OAPB 面积=|k|=4、S△OPA=S△OPB=½|k|=2——形状可变、面积不变量。
• 反比例 k·最小距离（OP 最小值） — P 在双曲线上：OP²=x²+(k/x)²=(x−k/x)²+2k≥2k（配方），等号当 x=√k=2 时取到，OP_min=√(2k)=√8≈2.83。
• 反比例 k·对称与相似（△OAC∽△OA′D） — A 关于 y=x 对称得 A′ 也在双曲线上；△OAC 与 △OA′D 直角边互换 ⟹ 相似，且面积同=½|k|。
• 二次函数·线段上点构造相似三角形 — 公共角锁定相似对应关系，由 AC²=AB·AP 求候选点，再用三边对应成比例验证其确实存在。
• 二次函数综合·面积最值与相似存在性 — 先由轴交点确定抛物线，再把面积写成二次式；最后利用等腰直角结构分类求相似位置。
• 二次函数综合·直角构造与相似四解 — 先由轴交点确定抛物线，再由直角导出相似求C；最后分类相似对应，在原直线上得到四个P点。
• 抛物线平移·三边比证角与相似双解 — 由两零点确定平移后的抛物线，以三边比证明等角，再枚举对应关系得到两个存在点。
• 抛物线顶点·相似三角形三解 — 由顶点和原点确定抛物线，再根据等腰三角形的角与边分类求出三个相似解点。
• 抛物线·相似三角形存在性 — 由固定的45°角分类讨论两种相似对应，第一种得到唯一合法参数，第二种化为矛盾而无解。
• 二次函数+直线与抛物线·面积与相似 — 由轴交点确定抛物线，DE定长产生两个面积分支，再分类两种顶点对应得到两个相似位置。
• 二次函数+双动点与相似时刻 — 把两个匀速运动转化为同一时间参数，利用公共角按两种顶点对应列SAS比例，得到两个相似时刻。
• 二次函数+竖线动点与相似三角形 — 把动三角形化为横竖直角边之比，交换对应关系并结合绝对值分支，得到三个相似位置。
• 二次函数+顶点与直线上点相似 — 先求抛物线与顶点，再用固定边CP锁定相似比例，按三边对应筛出直线AC上的两个Q点。
• 题集A第2题·线段OB上动点与相似 — PQ∥y轴锁定∠BPQ=∠BOC=135°定角，再按两种夹边对应各解出一个P位置。
• 题集A第3题·抛物线上动点与直角相似 — PD⊥x轴锁定直角对应，再按两种直角边对应各解出一个P位置。
• 题集A第4题·线段BC上动点与相似 — OB=OC锁定45°公共角，再按两种夹边对应各解出一个P位置。
• 动顶点抛物线与相似 — 顶点随M移动的抛物线交y轴于C；公共角+公共边锁定唯一对应，解得m=8/9。
• 射线OB上动点与相似 — 斜率锁定∠AOP=90°与∠AOM=∠OAP定角，直角分在M、在A两类构造各出一解。
• 竖线最值与相似 — 竖线MN配方求最值4；Rt△NOQ对Rt△AOB按两种直角边对应各得一解。
• 题集C第2题·对称轴上四点相似 — 勾股逆定理锁定△ABD直角在D，与△BMP直角在M对应；两种直角边对应各得|m|=5/4、|m|=5，上下对称共四解。
• 题集C第3题·抛物线上动点与直角相似 — PM⊥x轴锁定直角对应；①得P(2,1)，②的两根一退化一出界均舍，唯一解。
• 题集C第4题·等腰转化与相似 — PQ=PA的等腰条件把相似判定转化为AC=CD与AD=CD两个等式，各解出一个D。
• 题集C第5题·平行线直角与相似 — BD∥CA锁定△CBD直角在B，与△BPE直角在E对应；①得P(2/3,5/9)，②出界舍，唯一解。
• 速度比与相似 — AP/AQ=2/a为定值，公共角下两种夹边对应解出a=2√5/3或6√5/5。
• 题集D第1题·线段AB上两直角相似 — 公共角下△ACQ需直角：CQ⊥x轴得Q₁(1,4/3)，CQ⊥AB得Q₂(21/13,12/13)。
• 题集D第2题·全域动点与直角相似 — 直角对应下AM、PM含绝对值，按m分三段各解：P(2,1)、P(5,−2)、P(−3,−14)。
• 第一象限动点与相似 — 勾股逆定理锁定△BOC直角在O，与△PMA直角在M对应；两种直角边对应各得一解。
• 题集D第5题·竖线截双点与相似 — 竖线截出Q、M两点；直角在B时BQ⊥BD得Q(3,2)，直角在Q时Q与A重合(−1,0)。
• 题集D第6题·全域四解与相似 — PM/OM=|m+2|取3或1/3，两种对应各得两解，共四解。
• 题集E第1题·公共角与相似 — 外角排除∠APC=∠ABC后只剩∠APC=∠ACB，AC²=AB·AP解得唯一P(3/2,0)。
• 题集E第2题·等腰直角与相似 — △ACD等腰直角锁定△DBE也为等腰直角，直角在E得D(−3,1)，直角在B得D(−2,2)。
• 题集E第3题·直线上四点相似 — ∠PBC恒为直角，两种直角边对应各得两解，共四点。
• 题集E第4题·x轴上135°与相似 — ∠EAC=∠OCD=135°定角锁定两种夹边对应，各得一解。
• 题集E第5题·等腰120°与相似 — △OAB等腰120°定死，按Q位置分类+对称性，共三解。
• 题集E第6题·含参抛物线与相似 — ∠EBC=45°定角，两种对应分类：①得m=2+2√2，②矛盾无解。
• 题集F第1题·线段AC上动点与相似 — 公共角45°锁定，两种夹边对应各出一解。
• 题集F第2题·坐标轴上直角相似 — Rt△BCD两直角边比1:3，按直角在O/A/C三处各得一解。
• 题集F第3题·直线x=4右侧动点与相似 — 直角M≡直角O锁定，两直角边两种对应各出一解。
• 题集F第4题·竖线截线与面积相似 — 竖线截抛物线与AD：面积分段配方取最大12；直角Q≡直角O，三种对应出三解。
• 题集F第5题·y轴上动点与相似 — △ACD直角在C、两直角边比1:3，按直角在M/B两处各得一解。
• 题集F第6题·旋转90°与直线相似 — 旋转90°得AB⊥BG、直角在B，BQ/BA=3或1/3，±两方向共四解。
• 定角等角·例1·1·∠DBP=45°存在性 — 定角45°→构造等腰直角△DBQ→一线三直角求Q(−1,3)→直线BQ交抛物线得唯一P(−2/5,66/25)。
• 定角等角·∠DEA=45° — 拖D看∠DEA张合定位45°；动画呈现角度链：∠BCA沿截线滑到D、四点共圆(圆淡入)、同弧圆周角脉冲，得AE=3√5/2。
• 定角等角·例1·3·∠ACP多值四连问 — 同一「作垂线+一线三直角求T→直线CT∩抛物线得P」套路，解∠ACP=45°/90°/60°/tan=2四问。
• 定角等角·例2·1·MN⊥CD与∠CMN=∠BDE — 等角∠CMN=∠BDE→tan值相等，借MN⊥CD的Rt△CMN把CN/MN锁为1/2，得M(5,12)、(7/3,−20/9)。
• 定角等角·例2·2·DE⊥BC最值与△CDE有角=∠CFO — DE⊥BC借相似化为DM二次函数取最值9√2/8；再令Rt△CDE一锐角正切=tan∠CFO=3，得D(3/2,15/4)、(5/2,7/4)。
• 定角等角·例2·3·∠BAP=∠CAE — 定tan∠CAE=1/4（借等腰直角+ED⊥AC求得），令∠BAP=∠CAE经△EDA∽△PQA得PQ/AQ=1/4，解出P₁、P₂。
• 定角等角·出门测·∠PAB=∠ACB — 先证△ABD∽△BCO(均等腰直角)，借BE⊥CA得tan∠ACB=1/2；令∠PAB=∠ACB即AP斜率±1/2，得P(7/2,5/4)、(5/2,−3/4)。
• 二次函数图象·顶点式 y=a(x−h)²+k 的缩放与平移 — 顶点起于原点；拖三个滑块看二次项系数a（可正可负）定开口朝向与宽窄、h左右平移、k上下平移；a=0退化为直线。
• 二次函数一般式 y=ax²+bx+c·系数与图象的关系 — 拖三个滑块：a定开口(可正负,a=0退化直线)、b让对称轴左右滑(左同右异)、c是y轴截距(上下平移)。
• 二次函数顶点式·图象的对称变换（x轴/y轴/原点/顶点） — 顶点式 y=a(x−h)²+k 关于x轴/y轴/原点/顶点对称：原图(黑)与像(蓝)同屏，实时对比 a、h、k 的变化规律。
• 二次函数一般式·图象的对称变换（x轴/y轴/原点/顶点） — 一般式 y=ax²+bx+c 关于x轴/y轴/原点/顶点对称：原图(黑)与像(蓝)同屏，实时对比式子里 a、b、c 的变号规律。
• 抛物线与面积定值 — 同底 AD ⟹ 面积相等 ⟺ 到 AD 铅垂高相等（CH=2）；分 E 在 AD 上/下两类，除 C 外得三个 E。
• 一次函数+全等+比值定值 — 转 y=kx 看 AH+BQ 不变；AAS 得 G 联立得 F(−¾,−¾)；ASA 得 BQ=HC，拼接 AH+HC=AC=AB ⟹ 比值 1。
• 一次函数与异侧一线垂直 — 拖D看OE=AF纹丝不动；对称造45°+OA=AB，一线三垂直AAS得OE=AF；两边分别垂直再ASA得H(2,1)。
• 一次函数与全等三角形（B1-3） — 拖A、B看C恒压y=x；双垂线AAS得CN=CM；线段和差得CE=ED⟹CD⊥OC；截取OG=CE造SAS+垂直平分拼出OF=CE+EF。
• 一次函数+斜边中点 — 双垂线AAS得C(3,3)；中点+小勾股得MN=√2/2；旋转保长造等腰⟹B是AQ中点⟹DO过Q得y=−x⟹P(−2,2)。

五大名校·八下期末小压轴

• 等边·旋转中点轨迹最值 — 等边△ABC 中 CD 绕 D 转 120° 得 DE，F 为 BE 中点：F 轨迹是直线，CF 最小=½CG=1（30°所对直角边）。
• 菱形翻折·坐标法求 EF — 菱形 ABCD(AB=4,∠B=60°) 中 △BCE 沿 BE 翻折，BC′ 交 AD 于 F：坐标法求 EF=2√21/5。
• 矩形中线段差最大 — 矩形 ABCD(AB=6,AD=8) 中 O 为 AC 中点、M 在 AB(MA=1)、P 在 CD：PM−PO 最大=MO=2√5。
• 等腰直角旋转·面积最大 — 等腰直角△ACB(∠C=90°,AC=√2) 中 △BCD 绕 C 转得 △ACE：△ADE 直角于 A，面积最大=½。
• 角平分线对称·将军饮马最小 — Rt△ABC(∠A=90°,AC=3,AB=4) 中 CD 平分∠ACB：A 关于 CD 对称到 CB 上 A′，AP+PQ 最小=A′到AC=12/5。
• 矩形中多垂线段和最小 — 矩形 ABCD(AB=6,BC=8) 中 △EHG 等腰：MP+MQ=24/5 定值，加 MF 最小=3 ⟹ MP+MQ+MF 最小=39/5。
• 直角三角形旋转·求 AA′ — Rt△ABC(∠C=90°,BC=3,AC=4) 绕 B 逆时针旋转使 C′ 落 AB 上：A′C′⊥AB，AA′=√(4²+2²)=2√5。
• 定长中点轨迹·OD 最大 — A(6,0)、B(0,8)，AC=4，D 为 BC 中点：MD 中位线定隐圆 ⊙(M,2)，OD 最大=7，D=(21/5,28/5)。

五大名校·八下期末大压轴

• 手拉手·旋转全等+直角分类 — △ABC(AB=AC=8,∠BAC=75°) 中 AM 绕 A 转 75° 得 AN：手拉手证 BM=CN；△ANC 直角时 BM=4√2 或 8√2。
• 矩形菱形正方形·旋转构造三连 — 矩形/菱形/正方形旋转构造：(1)∠APQ=48° (2)∠BPQ=α/2 (3)等腰直角 BQ=2√5或2√10、五边形=110。
• 全等平行四边形旋转·DF最值与直角三角形 — 两全等▱绕B旋转：(1)DG=3√3 (2)DF∈[6−3√3,6+3√3] (3)直角△GDE四解 9√3/2、9√3、9(√11±√3)/2。
• 旋转探究·三栈道之和最值 — 正方形/矩形/圆内接四边形旋转：(1)BE+BF=BC (2)BF/BE=√2/2 (3)AB+BD+BC 最大=1000+1000√2。
• 旋转全等·线段和与 CQ 最值 — 旋转全等三连：(1)BQ+BP=BC (2)BC+CD=8√2 (3)Q 在定直线上、CQ 最小=2。
• 中点旋转全等·线段倍分 — 中点+旋转：(1)BE=CF=2m、BD=m+n、AH⊥EF且EF=2AH；(2)等边中△DE=2EH。
• 旋转最值 — 问题(2)手拉手中D：SAS全等→等腰证共线→CF=三分之根号3。问题(3)手拉手中B：旋转+平移+对称→min=400倍根号7。

陕西中考真题

• 2013.真题.小压轴:半圆·△COD面积最大值 — 半圆O直径AB=10，C/D在弧上。作CH⊥OD，Rt△OCH中CH≤OC=5⟹S=½·OD·CH≤25/2。
• 2013.副题.小压轴:定弦定角·GE+FH最大值 — ⊙O R=7, AB弦∠ACB=30°定, EF中位线∥AB=3.5交圆于GH。GE+FH=GH−3.5≤14−3.5=21/2。
• 2014.副题.小压轴:弦AB·△AOB周长最小值 — ⊙O R=5, P内OP=3, 过P直线交⊙O于A/B。OH⊥AB→OH≤OP=3→AB_min=8→周长_min=18。
• 2014.真题.小压轴:四边形MANB面积最大值 — ⊙O R=2, ∠AMB=45°, M/N在弦AB异侧。求四边形MANB面积最大值。
• 2015.副题.小压轴:将军饮马·PA+PB最小值 — 半圆O R=5, MN直径, OB⊥MN=5, AB=4。P在MN上, 作B对称点, 将军饮马求PA+PB最小值。
• 2015.真题.小压轴:中位线MN最大值 — ⊙O中AB=6为弦, ∠ACB=45°。M/N为AB/BC中点, MN是中位线等于AC的一半, AC最大为直径。
• 2016.副题.小压轴:将军饮马·MN+MF最小值 — 正方形ABCD AB=4, E为BC中点, F在CD上DF=1。M∈AD, N∈AE, 对称转化将军饮马求MN+MF最小值。
• 2016.真题.小压轴:菱形内△PBC等腰·PD最小值 — 菱形ABCD AB=2, ∠B=60°。P在菱形内使△PBC等腰，三情况分别求PD最小值。
• 2021.副题.小压轴:等边△周长最大值 — Rt△ABC ∠C=90° ∠B=30° AB=8。E,F在BC上, 等边△EFP在内部, 求周长最大值。
• 2024.副题.填空压轴:菱形·四边形ABCE面积 — 菱形ABCD AB=5, BD=8。AE⊥AB交BD于E, 求四边形ABCE面积。
• 2021.真题.小压轴:正方形内圆·A到圆最大距离 — 正方形ABCD边长4, ⊙O半径1在正方形内平移。求A到⊙O上点的距离最大值。
• 2020.真题.小压轴:菱形平分面积·EF — 菱形ABCD AB=6 ∠B=60°, E在AD上AE=2。过E平分菱形面积的直线交BC于F, 求EF。
• 2019.真题.小压轴:正方形PM−PN最大值 — 正方形ABCD AB=8, N为AO中点, M在BC上BM=6。P在BD上动, 对称转化得|PM−PN|≤MN'。
• 2019.副题.小压轴:菱形OE+OF最小值 — 菱形ABCD AB=4 ∠BAD=120°, O为中心。E在AB F在BC, 绕O旋转BC得B′C′∥AB, OE+OF化为两平行线间距=2倍根号3（旋转转化·PDF副题8）。
• 2025.真题.小压轴:□内等边△面积最大值 — □ABCD AB=6 AD=8 ∠B=60°, M、N在AB、AD上AM=AN, 等边△MNP面积随AM增, P顶到BC时△ABP等边⟹AM=3⟹DN=5。
• 2018.真题.小压轴:中心三角形面积关系 — □ABCD, O为中心, AD>AB。E/F在AB上EF=AB/2, G/H在BC上GH=BC/3。S1和S2分别为△EOF和△GOH面积, 求等量关系。
• 2018.副题.小压轴:PM−PQ最大值 — 矩形ABCD AB=3,AD=4, Q为AC中点, M在AD上MD=1。P在BC上动, 三角形不等式求PM−PQ最大值。
• 2017.副题.小压轴:角平分线·阴影面积 — Rt△ABC ∠B=90°, AC=3, BD平分∠B, AD=1。DE⊥BD, DF⊥AC构造全等转化阴影面积。
• 2017.真题.小压轴:弦PB=AB·PA定长 — ⊙O R=5, △ABC内接, ∠C=30°。P在⊙O上PB=AB。圆周角定理+弦相等确定P，余弦定理求PA。
• 2024.真题.小压轴:四边形EBFC面积 — △ABC AB=AC=13 BC=10, E在AB上, BF∥AC且BF=AE。剪△AEC补等积△BFC⟹四边形EBFC面积=S△ABC=60(定值)。
• 2023.真题.小压轴:矩形PM+PN定值求PC — 过 P 作 GH∥BC、PF⊥BC；△CDE 等腰直角 ⟹ PF=PH；垂线段最短 ⟹ PM+PN≥PG+PF=BC=4，取等 M=G、N=F；BM=BN ⟹ P=(2,2)、PC=2√2。