中考几何母题库

角

平行线拐点·猪蹄 — 两平行线间的拐点：过拐点作平行线，两次内错角 ⟹ 拐点角 ∠APB = ∠A + ∠B（猪蹄模型）。
飞镖模型 — 凹四边形（飞镖形）的凹点角：延长一边用两次三角形外角 ⟹ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
8字模型（蝴蝶） — 两线段相交成"8字"：对顶角相等 + 两三角形内角和 ⟹ ∠A + ∠B = ∠C + ∠D。
锯齿模型 — 猪蹄串联：折线在两平行线间左右交替拐弯，过拐点作平行线 ⟹ 奇数拐点角之和 = 两端角 + 偶数拐点角之和。
铅笔模型 — 平行线间拐角同朝一侧：过拐点作平行线，凑出 (n−1) 组同旁内角互补 ⟹ ∠和 = (n−1)·180°。
拉皮筋模型 — 两平行线钉住 A、B，拉动 P：P 在两线之间 ∠APB=∠A+∠B（和），拉到两线之外 ∠APB=|∠A−∠B|（差）。
12345 模型 · 两角和 45° — 矩形中 BE=DC=1、AB=a：AE=ED=√(a²+1) 且 AE²+ED²=AD² ⟹ △AED 等腰直角 ⟹ ∠EAD=45° ⟹ ∠BAE+∠FAD=45°；a=2 时 tan=½、⅓（12345）。
角平分线+平行线·等腰（MN=BM+CN） — ∠ABC、∠ACB 平分线交于 E，过 E 作 MN∥BC：角平分线遇平行得等腰 ⟹ BM=ME、CN=NE ⟹ MN=BM+CN。
两内角平分线夹角（∠P=90°+½∠A） — ∠ABC、∠ACB 的平分线交于 P：三个内角拼成平角，整条对折成直角 ⟹ ∠P=90°+½∠A。
一内一外角平分线夹角（∠P=½∠A） — ∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线交于 P：外角拼成一条再整条对折 ⟹ ∠P=½∠A。
两外角平分线夹角（∠P=90°−½∠A） — 两个外角∠CBE、∠BCF 的平分线交于 P：邻补角拼成平角、对折得直角 ⟹ ∠P=90°−½∠A。
角平分线+平行线·等腰（DO=DP） — OC 平分∠AOB、PD∥OB：平行线把∠POB 搬到 P 处成∠DPO，与∠DOP 恰成一对底角 ⟹ DO=DP。
角平分线+垂线·全等（PD=PE） — OC 平分∠AOB、P 在 OC 上，PD⊥OA、PE⊥OB：沿 OC 翻折两侧完全重合 ⟹ △ODP≌△OEP(AAS) ⟹ PD=PE。
角平分线+截长补短·全等（PD=PE） — 在角两边截取 OD=OE，P 在平分线上：沿 OC 翻折 D 恰落到 E ⟹ △ODP≌△OEP(SAS) ⟹ PD=PE。
旋转直角三角板·角平分与定值 — 直角三角板绕O旋转：由互余角与对顶角判定角平分，得到t=13或t=49，并证∠AOM−∠NOC恒为40°。
旋转30°直角三角板·平行与角平分 — 把三角板转角设为唯一变量，依次解决等角、平行时刻、三类角平分时刻及AB垂直OE时的角差问题。
旋转射线·角平分与分类讨论 — 令∠AOE为唯一转角，由OF平分∠AOE，把∠COF转化为绝对值关系，分类求出数值角与含参角。
互为垂角·双射线旋转分类 — 把“互为垂角”翻译为两角差的绝对值等于90°，再按射线越过定边的事件分三段求时刻。
伙伴角·刚性角与快射线旋转 — 把“伙伴角”翻译为两角之差的绝对值等于60°，再用相对速度表示两个动角。

全等

一线三等角·全等·同侧·直角 — K 字模型：一线三直角 + 中间斜边相等 ⟹ 全等，得线段和差 BC = AB + CD（异侧型 BC = AB − CD）。
一线三等角·全等·异侧·直角 — 异侧型：A、D 分居直线两侧，E 落在 BC 之外 ⟹ 全等，得线段差 BC = AB − CD（对照同侧型的 BC = AB + CD）。
一线三等角·全等·同侧 — 同侧：已知三等角 + AB=DC，拖 A 横扫锐↔钝，△ABD≌△DCE 恒成立（ASA），得 BD=CE、AD=DE。
一线三等角·全等·异侧 — 异侧：已知三等角 + AB=DC，拖 A 横扫锐↔钝，△ABD≌△DCE 恒成立（ASA），得 BD=CE、AD=DE。
一线三等角·相似·同侧·直角 — 同侧 α=90°：三个直角共线 → △ABD∽△DCE → 对应边成比例。拖 A 改 AB，比例随之变。
一线三等角·相似·异侧·直角 — 异侧 α=90°：A 上 E 下，三直角共线 → △ABD∽△DCE → 对应边成比例。拖 A 改 AB，比例随之变。
平移型全等 — AB∥DE 给同位角、BE=CF 同加 EC 得 BC=EF，配上已知 AB=DE ⟹ SAS 全等——平移前后两三角形全等。
翻折型全等 — 对称轴垂直平分 AD ⟹ B、C 到 A、D 等距 ⟹ AB=DB、AC=DC，配公共边 BC ⟹ SSS 全等。
旋转型全等 — 旋转 ⟹ BA=BD、BC=BE；∠ABD=∠CBE=旋转角，同加公共角 ∠ABE 得 ∠ABC=∠DBE ⟹ SAS 全等。
对称型全等·公共边 — 挖隐含公共边 AB=BA，配已知 AD=BC 与夹角 ∠DAB=∠CBA ⟹ SAS 证 △ABC≌△BAD。
对称型全等·双高 — 公共角+直角+AB=AC 以 AAS 证 △ABE≌△ACD，边差 BD=CE 供条件再以 AAS 证 △BDO≌△CEO ⟹ OB=OC。
对称型全等·角平分线 — 公共斜边 AP＋等直角边 PB=PC 用 HL 出全等 ⟹ 得 ∠BPD=∠CPD（AP 平分 ∠BPC）⟹ 配公共边 PD 用 SAS 再全等 ⟹ ∠BDP=∠CDP。
对称型全等·中点垂线 — 半腰等+底角等+公共边 ⟹ △DBC≌△EBC（SAS）⟹ 等角的补角 ∠ADM=∠AEN ⟹ △AMD≌△ANE（AAS）⟹ AM=AN。
对称型全等·公共边与SSA陷阱 — 公共边 BC=CB 配已知 ∠ACB=∠DBC：补 ∠BAC=∠CDB 得 AAS、补 ∠ABC=∠DCB 得 ASA、补 AC=DB 得 SAS；补 AB=DC 时角不夹边，边边角不能判定。
对称型全等·等角加同角补ASA — ∠1=∠2 同加公共角 ∠BCE 得 ∠ACB=∠DCE；配已知夹边 BC=EC，用 ASA 还缺一端角 ⟹ 补 ∠ABC=∠DEC 判定 △ABC≌△DEC。
对称型全等·共线开放三推一 — BF=EC 同加公共段 CF 得 BC=EF；配 ①AB=DE ③∠ABC=∠DEF ④∠ACB=∠DFE 任取其三作题设，分别用 SAS/AAS/ASA 证 △ABC≌△DEF 推出第四个。
对称型全等·二次全等链AAS — 对顶角+已知等角+已知等边用 AAS 证 △BDF≌△CEF，得 DF=EF、BF=CF，等量和出 BE=CD；再配公共角 ∠A 用 AAS 证 △ABE≌△ACD ⟹ AB=AC。
对称全等·等腰与平行 — AB=DF、AC=DE、BC=EF ⟹ △ABC≌△DFE（SSS）⟹ ∠ACB=∠DEF ⟹ EG=CG；再得 AG=DG，导角 ⟹ ∠CAD=∠ACB ⟹ AD∥l。
一线三等角·直角全等·面积 — 作高把面积转化为底乘高，再由两个直角导出等角，用 AAS 全等证明高等于已知底边。
一线三等角·双正方形面积 — 按答案过E作EH⊥CD，导出一对互余角并证全等，把高EH转化为AG，再用勾股定理求面积。
一线三等角·矩形三角板 — 按答案由共同余角得到等角，再用AAS全等和中点关系把BC写成AB，求出矩形边长。
一线三等角·坐标系中的矩形 — 按答案作四条坐标轴投影线，先用AAS求高，再用AA相似求横坐标，确定矩形另外两个顶点。
一线三等角·反比例函数乘积 — 按答案作两条坐标投影线，用AAS全等写出B点坐标，再由同一反比例函数上的乘积相等求k。

相似

一线三等角·相似·同侧 — 同侧：拖 A 横扫锐↔钝，∠ABD=∠ADE=∠DCE 恒相等 ⟹ △ABD∽△DCE → 对应边成比例。
一线三等角·相似·异侧 — 异侧：拖 A 横扫锐↔钝，∠ABF=∠ECB=∠ADE 恒相等 ⟹ △ABD∽△DCE → 对应边成比例。
一线三等角·综合模型 — 一图全包含：拖 A 改相等角 α（锐↔钝）与相似比，拉滑块在异侧 ⟷ 同侧间连续切换。
射影定理 — 直角三角形斜边上的高分出三组相似 △ACD∽△CBD∽△ABC，得 AC²=AD·AB、BC²=BD·AB、CD²=AD·BD。
三角形内角平分线定理 — AD 平分∠BAC：过 C 作 CE∥AD，把角平分翻译成等腰（AE=AC），再用平行线分线段成比例 ⟹ AB/AC=BD/DC。
2026陕西压轴（2）·相似求恒角 — AB=AC、∠BAC=80°，D、E 在 BC 上且 BE·CD=AB²；把乘积改写成比例，用 SAS 相似求得 ∠DAE=50°。
一线三等角·双等边三角形求CF — 由两个等边三角形导出两组120°角和，消去公共角得到第二组等角，再用AA相似和对应边比例求CF。
一线三等角·等腰三角形面积和 — 按答案导角并用AAS全等转化面积，再由同高三角形面积比求面积和。
一线三等角·等边三角形圆弧全等 — 按答案连接OD，由OP=PD=OD得到等边三角形，再以AAS全等转移AO到PB。
一线三等角·正方形与平行四边形比值 — 第一问由互余角判定相似；第二问严格按答案取H，使FH=DF，再判定相似求比。
一线三等角·双垂线求DE — 按答案由两个互余式导出等角，以AAS全等转移两组线段，再作差求DE。
一线三等角·矩形折叠求CE — 按答案作MN平行于AD，先用正切与勾股求FM，再由互余导角判定相似并求CE。
一线三等角·三平行线求正弦 — 按答案向最上方平行线作两条垂线，以AAS全等确定垂直投影，再求正弦。
一线三等角·直角三角形内等边比值 — 按答案归一化边长并作DH垂直AB，先求AH、DH，再以AAS全等转移CD为HE，最终作线段和差。
一线三等角·等边三角形唯一位置 — 按答案由60°导角判定相似，把比例化为关于BD的二次方程，再用唯一位置对应判别式为零。
一线三等角·等边三角形面积转移 — 严格按答案先证AFH与CHG全等，再同理转移第三块面积，把五边形面积化为2倍BFG面积。
一线三等角·正方形旋转最短 — 严格按答案作GH垂直BC，先证△EBF≌△FHG，得到点G在距BC为1的平行线上运动，再由垂线段最短求DG。
一线三等角·抛物线垂足最值 — 严格按答案由OA⊥OB导出两直角三角形相似，得到ab为定值与AB过定点，再用直径所对圆周角和圆的最右点求最大横坐标。
A字型相似·基本结构 — △ABC 中 D 是 AB 上一点，DE∥BC 交 AC 于 E ⟹ 同位角相等+公共角，AA 得 △ADE∽△ABC ⟹ 三组对应边的比值相等。
反A字型相似·基本结构 — △ABC 中 D、E 分别在 AB、AC 上，∠ADE=∠ACB（不平行）；公共角+已知等角 AA 得 △ADE∽△ACB ⟹ 三组对应边交叉成比例。
A字型·剪切三角形判相似 — △ABC（∠A=78°，AB=4，AC=6）四种剪法：A/B 两角相等相似，C 夹边不成比例不相似（6 是 AC 不是 BC），D 交叉成比例+公共角 SAS 相似。选 C。
A字型·平行线截高比 — △ABC 中 DE∥BC，AH⊥BC 于 H 交 DE 于 G，AG:GH=3:2 ⟹ 由和比得 AG/AH=3/5，再证 △ADE∽△ABC（AA），对应高之比=相似比 ⟹ DE/BC=3/5。

图形变换

正方形·对角线模型一 — 正方形对角线 AC 上任意点 P 到另一对顶点等距：PB=PD（AC 平分∠BAD，且是 BD 的垂直平分线）。
正方形·对角线模型二 — 过正方形中心 O 的直线交一组对边于 M、N，则 OM=ON——任意过中心的直线都被 O 平分、把正方形分成两个全等部分。
正方形·十字架模型 — 正方形中两条互相垂直、端点在边上的线段必相等：BM⊥AN ⟹ BM=AN（ASA 全等，本质是绕中心旋转 90°）。
正方形·外角平分线模型 — P 在 BC 上，Q 在 C 的外角平分线（45°）上且 PA⊥PQ，则 PA=PQ——截 BE=BP 造 △AEP≅△PCQ。
折叠的本质 — 折叠=轴对称全等变换：折叠前后全等、折痕垂直平分对应点连线、折痕又是角平分线——所有折叠题的地基。
折叠·勾股设方程 — 折叠出现直角三角形：A 翻折落到 BC 上 D，由 AE=DE 设未知数，在 Rt△DCE 中用勾股列方程求 DE（中点时 =25/8）。
折叠·一线三等角 — 矩形沿 AE 折叠、D 落在 BC 上 F：B、F、C 共线得一线三直角 K 型 ⟹ EC=3；E 动时 F 沿圆弧（隐圆）。
折叠产生等腰三角形 — 矩形沿对角线 BD 折叠，BC′ 交 AD 于 F，重叠 △BFD 等腰：折叠等角 + 平行内错角 ⟹ 两底角相等 ⟹ BF=DF。
折叠出现菱形 — 矩形折叠使 C 与 A 重合，折痕 EF：折痕垂直平分 AC、与 AC 互相平分 ⟹ 四边形 AECF 是菱形。
折叠产生等边三角形 — 矩形对折得中位线 EF，A 沿 BP 折到 EF 上 M：折叠 BM=BA、中位线 MA=MB ⟹ 三边相等 ⟹ △ABM 等边。
赵爽弦图 — 赵爽弦图：四个全等直角三角形拼成大小两正方形，面积关系直接证明勾股定理 a²+b²=c²。
圆柱体蚂蚁最短路径 — 圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁从下底 A 爬到上底对面 B，最短路径 = √(πr)²+h²。原题 r=4, h=16 → AB=20。
手拉手模型 — 共顶点两个等边三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=60°、O 到两线等距、另有平行结论）。
手拉手模型·等腰直角 — 共顶点两个等腰直角三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=90°、O 到两线等距、另有平行结论）。
手拉手模型·120°顶角 — 共顶点两个等腰三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=120°、O 到两线等距、另有平行结论）。
手拉手模型·45°顶角 — 共顶点两个等腰三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=45°、O 到两线等距、另有平行结论）。
手拉手模型·共线型 — A、C、E 共线，C为动点。同侧作等边△ABC和△CDE，连AD、BE产生手拉手全等。
手拉手模型·30°顶角 — 共顶点两个等腰三角形，导角得 △OAC≅△OBD，AC=BD（及夹角=30°、O 到两线等距、另有平行结论）。
手拉手·旋转造等边·半角模型三连 — 三连：(1)手拉手 ∠BCD=105°；(2)旋转造等边、三点共线，四边形周长=25；(3)半角旋转化垂线段，费用=288000 元。
半角模型 — 正方形内 ∠EAF=45°，旋转补形+作垂线，一图五结论：EF=BE+DF、△CEF周长恒定、A到EF距离恒等于边长等。
半角·进阶（对角线勾股） — 正方形对角线 BD 上 M=AF∩、N=AE∩：MN²=DM²+BN²（勾股）、EF=√2MN、△AMN∽△AEF、△AME/△ANF 等腰直角。
半角·外夹 — 半角夹在正方形外（E、F 在边的延长线上）：内旋补形得 DF=BE+EF（最长段=另两段和），AF 平分∠DFE。
半角·一般化（120°夹60°） — 半角不止正方形：对角互补四边形顶角120°、半角60°，同一套旋转照样得 EF=BE+DF。
折叠·Rt△BD最大值 — Rt△ABC折叠△PBC（P在AB上），B→B′。由CB′=CB=12得B′在⊙(C,12)上，B′D=12−CD≤12−CH=96/13。
折叠矩形·PM+MN+GN最小值 — 矩形ABCD中AD=6,AB=4，△AEF沿EF折叠得G。P为CD中点，M,N在BC上MN=1。求PM+MN+GN最小值。
手拉手·DF最小值 — 等边△ABC，D为BC中点，E在⊙(D,2)上动，AE绕A转60°得AF。手拉手：△ADE≌△AD′F (SAS)⟹DE=D′F=2，DF≥DD′−2=6√3−2。
脚拉脚模型 — 两等腰直角三角形共顶点 A（顶角互补）、F 为 CE 中点 ⟹ BF=DF、BF⊥DF（△BFD 等腰直角）。
脚拉脚·顺序型 — 两等腰直角三角形顺序共顶点 A、连 BD 与 CE 交于 F ⟹ CE=√2·BD，∠BFC=45°。
脚拉脚·顶角互补 — 两等腰三角形顶角互补、共顶点 C、F 为 BE 中点 ⟹ AF⊥DF 且 DF/AF=tan(β/2)。
等边三角形的 378·578 模型 — 给定 AB=AC=8、BD=3、DC=5、AD=7：BC=BD+DC=8 ⟹ AB=BC=CA=8 ⟹ △ABC 等边、三角 60°；△ABD(3,7,8)、△ADC(5,7,8) 共高 4√3 ⟹ 面积 6√3、10√3。
菱形中的折叠·对折到中心 — 菱形 ABCD 把顶点 A 折到对角线交点 O：折痕 EF⊥AC ⟹ EF∥BD，且过 AO 中点 ⟹ E、F 是 AB、AD 中点 ⟹ EF 是△ABD 中位线 ⟹ EF=½BD（边2、∠B=60°时=√3）。
奔驰模型·等边三角形 — 等边△ABC 内一点 PA=3、PB=4、PC=5：绕 A 旋 60° 把三段接成 △PP′B（3,4,5 直角）+ △APP′ 等边 ⟹ ∠APB=60°+90°=150°，面积=(25√3+36)/4。
矩形十字架（垂直⟹相似） — 矩形 ABCD 对折使 B、D 重合，折痕 MN⊥BD：作 ME⊥BC 得 △MNE∽△DBA ⟹ MN=BD·ME/AD=15/2。正方形里垂直⟹相等，矩形里垂直⟹相似。
旋转90°·△CDE面积最值 — △ABC中AB=2,∠B=60°,∠ACB=45°,D为BC上动点,AD绕A转90°得AE,△CDE面积最大3/2。
旋转构造·正三角形外接圆 PA=PB+PC — P 在正△ABC 外接圆劣弧 BC 上：把△ACP 绕 A 旋 60° 到△ABP′，等边△APP′ 给 PP′=PA，共圆互补给 P、B、P′ 共线 ⟹ PA=PB+PC。
邻等对补·半角：EF=BE+DF — AB=AD 且 ∠ABC+∠ADC=180°（共圆），∠EAF 为 ∠BAD 的一半：把△ADF 绕 A 旋 90° 使 AD 落到 AB，对角互补给 E、B、F′ 共线，半角给第二次 SAS 全等 ⟹ EF=BE+DF。
双直角共圆：AB+AC=√2·AD — BD=CD 且 ∠BDC=∠BAC=90°（四点共圆）：把△DCA 绕 D 旋 90° 使 DC 落到 DB，共圆互补给 A、B、A′ 共线，等腰直角△ADA′ 给 AA′=√2·AD ⟹ AB+AC=√2·AD。
120°等腰共圆：BD+CD=√3·AD — AB=AC 且 ∠BAC=120°，D 在优弧 BC 上：把△ACD 绕 A 旋 120° 使 AC 落到 AB，共圆互补给 D、B、D′ 共线，顶角 120° 等腰△DAD′ 给 DD′=√3·AD ⟹ BD+CD=√3·AD。
等腰直角·半角：BE²+CF²=EF² — AB=AC 且 AB⊥AC，E、F 在 BC 上且 ∠EAF=45°（半角）：把△ABE 绕 A 旋 90° 使 AB 落到 AC，半角给第二次 SAS 全等，旋转把 BE 搬到 CE′ 且 ∠FCE′=90°，勾股收束 ⟹ BE²+CF²=EF²。
等腰直角：BE²+CE²=2AE² — AB=AC 且 AB⊥AC，E 在 BC 上：把△ABE 绕 A 旋 90° 使 AB 落到 AC，旋转把 BE 搬到 CE′ 且 ∠ECE′=90°，勾股给 EE′²=CE²+BE²；△AEE′ 等腰直角给 EE′²=2AE² ⟹ BE²+CE²=2AE²。
等边+30°：BD²+CD²=AD² — 等边△ABC，D 在 BC 异侧且 ∠BDC=30°：把△ACD 绕 A 旋 60° 使 AC 落到 AB，四边形内角和给出 ∠ABD+∠ACD=270°，周角裁出 ∠DBD′=90°，勾股加等边桥收束 ⟹ BD²+CD²=AD²。
等腰直角·半角外点：BE²+CD²=DE² — AB=AC 且 AB⊥AC，E 在 BC 上、D 在 BC 延长线上且 ∠DAE=45°（半角）：把△ABE 绕 A 旋 90° 使 AB 落到 AC，半角给第二次 SAS 全等，旋转把 BE 搬到 CE′ 且补角造出 ∠E′CD=90°，勾股收束 ⟹ BE²+CD²=DE²。
等腰三角形内一点：三个张角均可求 — AB=AC 且 ∠BAC 已知，P 为形内一点，PA=a、PB=b、PC=c：把△APB 绕 A 旋转 ∠BAC 使 AB 落到 AC，P 落到 P′，△APP′ 等腰可求 PP′ 与底角，△PP′C 三边皆知则三角可求，拼回即得 P 的三个张角都可由 a、b、c 求出。
法一：绕顶点A旋转△ABD（全等） — ∠ABC=∠ACB=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3：把△ABD 绕 A 旋转 120° 使 AB 落到 AC，全等把 BD 搬到 CE，等腰△ADE 给出 ∠ADE=30° 与 DE=5√3，拼出 Rt△DCE 勾股收束 ⟹ BD=2√21。
法二：绕顶点A旋转△ACD（全等） — ∠ABC=∠ACB=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3：把△ACD 绕 A 旋转 120° 使 AC 落到 AB，全等给出 BE=CD=3 与∠AEB=60°，等腰△ADE 给出 ∠AED=30° 与 DE=5√3，E 点拼出直角，Rt△BDE 勾股直接收束 ⟹ BD=2√21。
法三：绕B旋转相似（放大√3倍） — ∠ABC=∠ACB=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3：绕 B 旋转 30° 并放大到 √3 倍（A→C，D→E），SAS 相似给出 CE=5√3 与等角，周角拼出∠DCE=90°，勾股得 DE²=84，再由垂直平分线 DE=DB 收束 ⟹ BD=2√21。
法四：绕B旋转相似（缩小√3倍） — ∠ABC=∠ACB=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3：绕 B 旋转 30° 并缩小为 1/√3（C→A，D→E），SAS 相似给出 AE=√3 与等角，绕 A 一周拼出∠DAE=90°，勾股得 DE²=28，相似比还原 ⟹ BD=√3·DE=2√21。
法五：绕C旋转相似（缩小√3倍） — ∠ABC=∠ACB=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3：绕 C 旋转 30° 并缩小为 1/√3（B→A，D→E），SAS 相似给出 CE=√3；△CDE 中作 EH⊥CD，CH=CD/2 得 ED=EC=√3、∠CDE=30°，拼出∠ADE=90°，勾股 AE²=28，相似比还原 ⟹ BD=√3·AE=2√21。
法六：绕C旋转相似（放大√3倍） — ∠ABC=∠ACB=30°，∠ADC=60°，AD=5，CD=3：绕 C 旋转 30° 并放大为 √3（A→B，D→E），SAS 相似给出 BE=5√3、∠CEB=60°；△CDE 中作 DM⊥CE，CM=CE/2 得 DE=DC=3、∠CED=30°，拼出∠DEB=90°，Rt△BDE 勾股直接出 BD=√84=2√21。

线段最值

将军饮马.两定一动 — 直线同侧两点 A、B，在直线上求一点 P，使 PA+PB 最短。
费马点 — 三角形内求一点 P，使 PA+PB+PC 最小——旋转 60° 化为折线 B-P-P′-C′，四点共线时最短=BC′。
胡不归 — 动点 P 在射线上，求 PB + ½·PA 最小——构造角化斜为直。
阿氏圆 — 到两定点距离之比为定值 k(≠1) 的点轨迹是圆；滑块调 k，k=1 时退化为中垂线，并严格证明。
阿氏圆最值 — 点 P 在圆上求 PA + ½·PB 最小——子母相似把带权项化成普通线段。
将军饮马·角内两动一定 — 角内定点 P，两边各一动点 M、N：双重对称将周长化为折线 P′-M-N-P″，四点共线时最小=P′P″。
将军饮马·平移造桥 — 两平行岸之间建垂直桥（桥长=河宽定值）：平移 A 一个河宽，连 A′B 定桥位，最短=A′B+河宽。
将军饮马·同岸滑动桥 — 同侧两村+定长桥沿岸滑动：先平移桥长化成基础将军饮马，再对称，A″、Q、B 三点共线时最短=A″B+桥长。
将军饮马·单点往返过桥 — 单点出发过定长桥再返回：先平移桥长化成基础将军饮马，再对称，A、Q、A″ 三点共线时最短=AA″+桥长。
将军饮马·线段差最小 — 同侧两点 |PA−PB| 最小：当 PA=PB 时为 0，P 取 AB 中垂线与 l 的交点。
将军饮马·同侧线段差最大 — 同侧两点 |PA−PB| 最大：由三角形两边之差≤第三边，三点共线时 |PA−PB|=AB 最大。
将军饮马·异侧线段差最大 — 异侧两点 |PA−PB| 最大：先把 B 对称到同侧 B′，化成同侧线段差，三点共线时 =AB′ 最大。
等边△APQ周长最小值 — △ABC中BC=8、S△ABC=40，P在BC上动，AP上方作等边△APQ。周长=3·AP≥3·hA=30，AP⊥BC时取等。
将军饮马·两定两动平移型 — Rt△ABC中∠B=90°，AB=BC=4，O为AC中点，D、E在BC上且DE=1。对称A→A′、平移O→O′，AD+OE=A′D+O′D≥A′O′=√37。
垂线段最短+等面积法 — 直线外一点到直线上各点的距离，垂线段最短；面积法求垂线段长 CH=AC·BC/AB=12/5。
垂线段最短·折线(AM+MN) — 折线 AM+MN（M 在 DE、N 在 BC 上）最小 = 定点 A 到对边 BC 的垂线段 AQ；折线化直 + 垂线段最短两步下界。
垂线段最短·中点转化 — AEPF 矩形 ⟹ AM=½AP，再用垂线段最短求 AM 范围 30/13≤AM<6（PDF 例1）。
垂线段最短·隐圆 — 定角 90° 对动弦 EF ⟹ EF 是外接圆直径、EF=√2·PE，再垂线段最短求 EF 最小=4√2（PDF 实战12）。
垂线段最短·旋转造直线 — 旋转全等 ⟹ F 轨迹为过 B 的定直线（∠CBF=30°），再垂线段最短求 DF 最小=2√3（PDF 实战11）。
垂线段最短·角平分线半段 — 30°角把 ½PB 化为垂线段 PE，再垂线段最短求 MP+½PB 最小=7√3/2（PDF 变式4）。
垂线段最短·对称化 — 作 B 关于角平分线 AD 的对称点 B′（落在 AC 上）⟹ BE+EF 化直为 B′F，再垂线段最短求最小=24/5（PDF 实战8）。
胡不归·应用（2AD+DC 最小） — △ABC ∠A=90°/∠B=60°/AB=2，D 在 BC 上：过 C 作 ∠BCE=30°、DF⊥CE ⟹ DF=½DC ⟹ 2AD+DC=2(AD+DF) 最小=2·(A 到 CE 距离)=6。
阿氏圆最值·延长构造（系数>1） — ⊙O 内 CM+2DM（系数2>1）：延长 OB 到 T 使 OT=12 ⟹ OM²=OD·OT ⟹ △MOD∽△TOM ⟹ MT=2DM，化成 CM+MT≥CT=4√10。
梯子模型·斜边中点（OC 最大） — ∠MON=90°，AB=8 两端在两边滑动：取斜边中点 E ⟹ OE=½AB=4 定值（E 在定圆上）、CE=2√13 定值 ⟹ OC≤OE+CE，共线时最大=4+2√13。
梯子最值·猫抓老鼠（DE 最小） — 梯子 MN=4 沿墙角下滑，猫 E 在 MN 中点 ⟹ BE=½MN=2 定值（E 在半径2定圆上）；老鼠 D 到两墙距离3、2、BD=√13 ⟹ DE≥BD−BE，最小=√13−2。
逆等线·等腰三角形（CD+BE 最小） — 等腰△ABC 中 AD=CE（逆等线），连 CD、BE：作 AM∥BC 且 AM=CB ⟹ △ADM≅△CEB ⟹ BE=DM，CD+BE=CD+DM≥CM=√97。
逆等线·直角三角形（BD+CE 最小） — Rt△ACB（∠C=90°、AB=6、BC=4）中 AD=BE（逆等线）：作 BF∥AC 且 BF=AB ⟹ △ADB≅△BEF ⟹ BD=EF，BD+CE=EF+CE≥CF=2√13。
加权逆等线·直角三角形（AE+2CD 最小） — BC⊥AB、BC=AB=3，CE=2BD（加权逆等线）：作 CF⊥CB 且 CF=2CB ⟹ △FCE∽△CBD ⟹ EF=2CD，AE+2CD=AE+EF≥AF=3√10。
逆等线·直角+相似 — Rt△ABC（∠C=90°、AC=4、BC=2√5）中 AD=CE：作 CF∥AB 且 CF=AC ⟹ △ADC≌△CEF ⟹ CD=EF，CD+BE=EF+BE≥BF，共线时 CE=8/5 即 AE=12/5。
将军饮马·最短路径三连 — 三连：(1)BP最小=AB·BC/AC=12/5；(2)一次对称 PB+PE=B′E=√5；(3)两次对称 CE+EF+FC=C₁C₂=3000，BE=500、DF=1000。
旋转造等边·化动线段为垂线段最短 — 三连：(1)等边折叠 PQ>QH；(2)▱对角线 BE=2EF，垂线段 BE最小=16；(3)旋转全等 AG=A′F，垂线段 AG最小=8km、费用 80 万元。
垂美四边形·对称化直最值 — 四边形ABCD中AB=6 AD=2 BD⊥AD S=10√2，C在BD平行线上，对称A→A′化AC+BC≥A′B=4√6。
Rt△双对称·四边形周长最值 — Rt△ABC中M,N在AB上定点，P在AC、Q在BC上动，四边形MNPQ周长最小时∠NPQ+∠MQP=2∠C=100°。
旋转60°·CE+DF最小值 — Rt△ABC ∠C=90° ∠A=30° AC=6，D在AC上AD=2，E在AB上动，E绕A顺转60°得F。旋转+对称双变换：min(CE+DF)=2√13。
梯形对角线之和最大值 — 梯形ABCD AD//BC AD=8 BC=12，对角线交于O ∠AOD=120°。作DE∥AC→▱ACED→转化BD+DE→BM+EN≤BE→max=40√3/3。
逆等线·等边三角形（BF+CE 最小时求角） — 等边△ABC 高 AD 上取 E、AC 上取 F 且 AE=CF：作 CG⊥BC 且 CG=CB ⟹ △AEC≌△CFG ⟹ CE=FG，BF+CE=BF+FG≥BG；共线时 ∠FBC=45°、∠FCB=60° ⟹ ∠AFB=105°。
逆等线·一般三角形（CD+BE 最小） — △ABC 中 ∠ABC=60°、BC=8、AC=10，AD=CE：作 CF∥AB 且 CF=CA ⟹ △FCE≌△CAD ⟹ FE=CD，CD+BE=FE+BE≥BF；作 FH⊥BC 得 CH=5、FH=5√3、BH=13 ⟹ 最小值 2√61。
逆等线·同边双动点（CD+CE 最小） — Rt△ABC（∠C=90°、∠B=30°、AC=2）中 D、E 都在 AB 上且 AD=BE：补成矩形 ACBF ⟹ OD=OE、OC=OF ⟹ CEFD 是平行四边形 ⟹ DF=CE，CD+CE=CD+DF≥CF=AB=4。
逆等线·正方形（BP 最小·隐圆） — 正方形 ABCD 边长 6，AE=BF，CE 与 DF 交于 P：△EBC≌△FCD ⟹ ∠DPC=90° ⟹ P 在以 CD 为直径的 ⊙O 上；BP≥BO−OP，Rt△BCO 中 BO=3√5 ⟹ BP 最小=3√5−3。
逆等线·正方形（AE+AF 最小·再对称） — 正方形 ABCD 边长 1，BE=CF：△DCE≌△ADF ⟹ DE=AF，AE+AF=AE+DE 化归为将军饮马；作 A 关于 BC 的对称点 A′ ⟹ AE+AF=A′E+DE≥A′D=√5。
逆等线·菱形（AE+AF 最小） — 菱形 ABCD（∠ABC=60°、AB=2）中 BE=DF：对角线平分内角得 ∠ADF=30°，在 BC 下方作 ∠CBT=30° 且 BT=AD ⟹ △TBE≌△ADF ⟹ ET=AF，AE+AF=AE+ET≥AT；∠ABT=90° ⟹ AT=2√2。
逆等线·等边内一点（DE+DF 最小） — 等边△ABC 内一点 D（DB=3、DC=4、∠BDC=150°），AE=AF：由 ∠BDC 得 ∠ABD+∠ACD=90°；作 CH⊥CD 且 CH=BD ⟹ △DBE≌△HCF ⟹ DE=HF，DE+DF=HF+DF≥DH=5。
逆等线·等边与圆（OC 最小·二次函数） — 等边△ABC（AB=6）中过 C 的 ⊙O 交 AC、BC 于 D、E 且 CD=BE：∠DOE=2∠DCE=120° ⟹ DE=√3·OC，转化为求弦 DE 最小；设 CD=x 得 DE²=3(x−3)²+9 ⟹ x=3 时 DE=3，OC 最小=√3。
五边形环道·平移化折BN+EP最短·2023陕西21题 — 五边形环道：BC 上取 BB′=ON=30 得平行四边形 BB′ON ⟹ BN=B′O；EP≥OE−30；BN+EP≥B′E−30（O 在线段 B′E 上取等）。MN=OM−30 ⟹ 求 OM 最小：O 沿 B′E 左移到 ⊙O 与 FD 相切，△EO′Q∽△EB′G 得 O′Q=5952.09，OM=4047.91m。

圆

直径隐圆 — ∠APB 恒为 90° 的动点 P，轨迹是以 AB 为直径的圆——拖出隐藏的圆。
瓜豆原理·种圆得圆 — 主动点在圆上、从动点绕定点旋转定角，则从动点轨迹也是圆（半径相同、圆心转定角）。
瓜豆原理·种线得线 — 主动点在线段上、从动点绕定点旋转定角，则从动点轨迹也是线段（同步旋转的像）。
瓜豆原理·应用最值 — 正方形+等边△，动点 F 带动 G。瓜豆找 G 的轨迹线，再用垂线段最短求 CG 最小=5/2。
瓜豆原理·种圆得圆最值 — 中考真题：⊙C 上动点 P 绕 A 转 90° 得 P′，瓜豆找从动圆 ⊙C′，点圆最值连心线求 BP′ 最小=2。
矩形折叠最值 — 矩形沿折痕翻折，折叠不变长造出隐圆（B′到A定长），再用点圆最值（连心线）求 DB′ 最小。
定角定弦·隐圆 — 定弦 AB + 定角 ∠APB，动点 P 的轨迹是过 A、B 的圆弧（隐圆）。定角定弦必有隐圆，可证四点共圆。
定点定长·导角 — 四边形中 AB=AC=AD（三条共端点等长线段）⟹ B、C、D 在以 A 为圆心的隐圆上；等腰导出圆心角 ∠CAD=76°，圆周角 ∠CBD=½∠CAD=38°。
定点定长·求对角线 BD — 四边形 DC∥AB、BC=1、AB=AC=AD=2 ⟹ B、C、D 在隐圆上。延长 BA 得直径 BF=4，平行弦等弧 DF=BC=1，∠FDB=90° ⟹ 勾股 BD=√15。
定点定长+中位线·OM 最大 — BC=2 ⟹ C 在以 B 为圆心半径 2 的隐圆上；取 D(−4,0)，OM 是△ACD 中位线 ⟹ OM=½CD；CD 最大在 D、B、C 共线 ⟹ CD=4√2+2、OM=1+2√2。
矩形直角隐圆·DP 最短求 CP — 矩形 AB=4、AD=2，AP⊥BP ⟹ P 在以 AB 为直径的圆上。连 OD，DP 最短=2√2−2（D、P、O 共线）；作 PE⊥CD ⟹ PE=2−√2、CE=2+√2，勾股 CP=2√3。
正方形外直角隐圆+中点·CF 最大 — ∠AEB=90° ⟹ E 在以 AB 为直径的圆上；连 DM 取中点 G，中位线 GF=½ME=1 ⟹ F 在 ⊙G(半径1) 上；CF≤CG+1，共线取等 ⟹ CF 最大=√13+1。
定弦定角·面积最大 — 弦 AB=10、∠APB=60° 定弦定角，P 在圆弧上 ∠APB 恒定。S△PAB=½·AB·h，h 最大在弧中点 ⟹ h=5√3、S_max=25√3。
定弦定角·点圆最值（相对运动） — ∠AOB=45°、CD=2、等腰直角△CDE。相对运动：固定 CD 让 O 动 ⟹ O 在定弦定角圆 ⊙O₂ 上（半径 √2）；作垂线+勾股算得 O₂E=√10，OE≤√2+√10，共线取等 ⟹ OE 最大=√2+√10。
对角互补造隐圆·定比 EF/BE — 矩形 AB=3、BC=5，E 在 AC 上、EF⊥BE 交 DC 于 F。∠BEF=∠BCF=90° ⟹ 对角互补 B、C、F、E 共圆；同弧 ∠EBF=∠ECF=∠ACD ⟹ EF/BE=AD/CD=5/3（定比）。
对角互补造隐圆·中点 DE 最小 — ∠BAD=∠BCD=90° ⟹ A、B、C、D 共圆、BD 直径；∠ACD=30°⟹△OAD 等边半径2；AO 中点 F，中位线 EF=1 ⟹ E 在 ⊙F 上；Rt△OFD 勾股 DF=√3；DE≥DF−1，共线取等 ⟹ DE 最小=√3−1。
对角互补造隐圆·求 OC — 正方形边长2，CE=DF，AF、DE 交于 O，BO=BA=2。△ADF≌△DCE⟹∠AOD=90°⟹ABEO 对角互补共圆；圆中等弦 BO=BA⟹BE=1；DE=√5、相似+勾股⟹OC=2√10/5。
定弦定角·矩形边上∠BPC=60°的点P — 矩形BC=4、AB=2√3（⊙O切AD），BC定弦、∠BPC=60°定角→P在圆弧上；弧切AD于P₂、交AB于P₁、CD于P₃。
定角定中线·△ABC面积最大 — ∠ACB=60°、中线CD=3。倍长得平行四边形→定弦CE=6定角∠CBE=120°→B在圆弧上→面积最大=3√3。
定角定中线·BC 最大 — ∠BAC=120°、中线AD=6。倍长得▱→AE=12定弦∠ACE=60°定角→C在圆弧上→BC=2CD→BC最大=12√3。
定角定高·BC 最小 — ∠BAC=60°、AD⊥BC于D、AD=3。作⊙O→设BC=2x→OA+OE=√3x≥3→x≥√3→BC=2√3。
定角定角平分线·AB+AC 最小 — ∠BAC=120°、AD平分∠BAC、AD=2。作DE⊥AB/DF⊥AC得DE=DF=√3，旋转△BDE→△B′DF转化为定角定高，AB+AC最小=8。
定角定角平分线·面积最小 — ∠BAC=90°、AD平分∠BAC、AD=6。作DE⊥AB/DF⊥AC得正方形AEDF(面积18)，旋转△BDE→△B′DF转化为定角定高，面积最小=36。
扇形折叠·四边形 OEDF 面积最小 — 扇形AOB中OA=6、∠AOB=60°，沿EF折叠O落到弧上D。OEDF为筝形S=3·EF，△OEF定角60°定高3⟹EF最小2√3⟹面积最小6√3。
扇形折叠·OEDF面积最小·定角定高 — 同题第二解法(定角定高外接圆)：S=3·EF，∠EOF=60°圆周角⟹O、E、F共圆，EF=R倍根号3(R为外接圆半径)；O到弦距≤3R/2、定高3⟹R≥2，等边时圆最小R=2、EF最小2倍根号3⟹S最小6倍根号3。
旋转60°·DF最小值 — 等边△ABC，D为BC中点，E在⊙(D,2)上动，AE绕A转60°得AF。手拉手：△AEF与△ADD′共顶点两个等边三角形，瓜豆：E轨迹圆→F轨迹圆，minDF=6√3−2。
米勒定理·最大张角 — 梯形ABCD中AD∥BC、CD⊥BC、∠ABC=60°、AD=8、BC=12。过B/C作⊙Q切AD于P时∠BPC最大，cos∠BPC最小=1/7。
中点轨迹圆 · AD+BC 最大值 — 取 DC 中点 M ⟹ AD+BC=2·(M 到 AB 距离)；斜边中线 ME=½DC=2√5 定值 ⟹ M 在以 E 为圆心的定圆上；圆心在 AB 上 ⟹ 最大距离=半径 ⟹ AD+BC≤4√5、面积=32（PDF 第13题）。
定点定长·点圆最值 — 矩形中 M 是 B 关于直线 AP 的对称点：AM=AB=3 定长 ⟹ M 在以 A 为圆心半径 3 的隐圆上；点圆最值 MC≥AC−3=2（A、M、C 共线取等）。
直角造隐圆 · 点圆最值 — 正方形 E、F 同速 ⟹ △ABE≅△DAF ⟹ AF⊥BE ⟹ ∠APB=90° ⟹ P 在以 AB 为直径的圆上；点圆最值 DP≥DG−1=√5−1（D、P、G 共线取等）。
2026陕西大压轴（3）·直角梯形隐圆求最短 — P 在 AB 上运动，面积比确定 Q；由相似推出 ∠AMD=90°，M 在以 AD 为直径的圆上，再求 BM 最短时四边形 MQCD 的面积。
中点弧+内心·鸡爪定理（DB=DC=DI） — △ABC 内心 I，AI 延长交外接圆于 D（弧 BC 中点）：弧中点得 DB=DC；外角导角得 ∠DBI=∠DIB ⟹ DI=DB ⟹ DB=DC=DI（鸡爪定理）。
陕西2015副题·定弦最大张角 — AB 是定弦，P 在 45° 射线上移动；最大张角发生在过 A、B 的圆与射线相切时，切线垂直半径，算得 CP=10m。
陕西2025真题·相切圆中的相似证明 — 先用切点半径与45度角得到平行线，以两次AA相似分别证明等腰并求目标线段。
陕西2024真题·切线直径与相似 — 由切线和直径得到两个直角，用同弧圆周角证明等角，再以两次相似求弦 EF。
2023陕西真题·垂线圆周角与弦长 — 由同弧圆周角得到等腰直角三角形，再用直角圆和斜边上的高求弦长。
陕西2022真题·直径切线与相似 — 由切线、直径和垂径定理锁定角与等边，再用相似三角形求切线外的线段。
2021陕西真题·弧倍数与切线相似 — 由弧的倍数关系转化圆心角与圆周角，再用直径所对圆周角和相似三角形求 FD。
2020陕西真题·切线平行与正方形求长 — 由圆周角与切线垂直半径证明 AD∥EC，再作垂线构造正方形求 EC。
陕西2019真题·切线与弦长相似 — 由切线垂直与等腰三角形证明AB=BE，再连接BC，利用直径、相似和同弧角求AD。
陕西2018真题·中线直径与矩形等长 — 由斜边中点与直径圆周角建立平行关系，再用矩形和斜边中点性质完成等长证明。
陕西2017真题·切线垂径与弦长平行 — 由切线构造直角三角形求弦长，再用圆心角与圆周角证明平行。
陕西2016真题·角平分线与切线等积 — 利用弦切角、同弧圆周角和角平分线求出∠CBD，再由AA相似和等角所对弦相等推出线段等积式。
2016真题·弦切线中点等积 — 由中点垂线得到FA=FD，再用互余角证明FC=FG；连接AC构造直径，以切线弦定理和相似三角形推出AB²=BC·BG。
2014陕西真题·切线平行与角平分线 — 由同垂直得到平行，再把等腰三角形底角转移为角平分关系，最后用相似三角形求长。
2013陕西真题·直径直角与互余正切 — 先用直径所对圆周角把圆内直角转移到△ABC，再作垂线构造矩形，将半径与切线长度送入正切定义。
2013陕西副题·双切线与圆上最远距离 — 先用双切线构造的两个直角三角形证角平分，再由弦长求半径与切点距离，最后用三角不等式锁定圆上最远点。
2014陕西副题·双切线求长与圆上最远距离 — 先由切线垂径和半径比得到特殊角，在直角三角形中求切线段，再用三角不等式确定圆上最远距离。
2015陕西副题·直径圆切线判定与相似求长 — 先把直角三角形的互余角与题设等角对齐，判定斜边为直径圆的切线；再用面积求高、用相似比例求交点线段。
2016陕西副题·圆内接三角形互余与相似求垂线 — 由切线半径与题设垂直先证平行，再用等腰三角形和圆周角证明互余；延长半径作直径，以AA相似先列比例再求AD。
2017陕西副题·角平分线切线与平行四边形定角 — 角平分线把圆周角转成等弧，半径过弧中点垂直弦，从而判定平行线为切线；再以半弦等量构造平行四边形求直角。
2018陕西副题·直角三角形外接圆切线与正切求长 — 等弦确定弧中点方向，把两次垂直转成平行后判定切线；再由同角正切先列比例、后代值求切线段。
2020陕西副题·切线平行弦与相似求长 — 由切线和平行弦建立一组垂直，再用直径所对圆周角建立另一组垂直；数值问中以弦心距构造相似三角形，先列比例再代值求长。
2021陕西副题·切线平行弦与相似差长 — 用切线和平行弦建立一组垂直，用直径所对圆周角建立另一组垂直；数值问中先由弦心距构造相似求整段，再借矩形求差。
2022陕西副题·相似证切线与等弦求长 — 先由两直角三角形的边比例建立相似并拼出半径垂直，再用等弦全等和等腰三线合一制造第二组相似求弦长。
陕西2024副题·直径切线与相似 — 先用同弧圆周角与余角关系拼出半径垂直切线，再以AA相似先列比例、后代值求延长线段。
2023陕西副题·切圆平行弦与相似求长 — 切线与30°直角三角形分别表示PA和CD，再由平行、共线判定相似；相似后先列比例，最后勾股求EF。
瓜豆应用·等腰三角形旋转30°求面积 — AB=AC、∠BAC=30°、BC=8，BD=2AE，DE 绕 E 转 30° 得 EF。瓜豆：F 轨迹是从 C 出发的线段；∠BCF=60°，垂线段最短得 min BF=BH=4√3，取等时 CF=4，S△BCF=8√3。

四边形

正方形·对角互补模型 — P 在正方形外接圆 BC 弧上（∠BPD=90°）：过 A 作 AE⊥AP 构造等腰 Rt△PAE + △ABP≌△ADE ⟹ PB+PD=√2·PA。
正方形·八字模型 — P 在正方形外接圆 BC 弧上（∠BPC=135°），绕 C 旋转 90° ⟹ 线段差 PD−PB=√2·PC（对角互补模型的"差"版）。
垂美四边形 — 对角线互相垂直的四边形：AC⊥BD ⟹ 对边平方和相等 AB²+CD²=AD²+BC²（四个直角三角形勾股相加）。
菱形动点定值·ME+NF — 菱形中 AM=BN 的动点 M、N 到对角线 BD 的距离之和为定值：借矩形转化 ME=OH、全等转化 FN=AH，合成 ME+NF=OA=√15/2。
面积定值·菱形外挂平行四边形 — 菱形ABCD中AB=12、∠ADC=60°，P在CD上，过A作EF∥BP且EF=BP：▱BEFP的面积恒等于菱形面积——两次同底等高（等积变形）⟹ S=BC·DH=72√3。
双中点·中位线（EF=½BD） — AD=AC、AE⊥CD ⟹ E 是 CD 中点（三线合一）；F 是 BC 中点 ⟹ EF 是△CDB 中位线 ⟹ EF=½BD。两个中点想到中位线。

面积问题

等分面积·三中线六等分三角形 — △ABC三条中线交于重心G，中线平分面积(S△ABD=S△ACD=½S△ABC)，重心分中线2:1，六个小三角形面积都=⅙S△ABC。
等分面积·过三角形边上一点作平分线 — D在AC上，取BC中点E、过A作AM∥DE交BC于M：AM∥DE等积换得S△DAE=S△DME，故S△DMC=S△ACE=½S△ABC，DM平分△ABC。
等分面积·过四边形顶点作平分线 — 过四边形顶点A平分：连BD取中点E得S四边形ABCE=½S四边形ABCD，过E作EM∥AC交BC于M，等积变换化ABCE为△ABM，AM平分四边形。
等分面积·过四边形边上一点作平分线 — E在AD上：过A作AF∥EB、过D作DG∥EC交BC于F、G，等积变换得S四边形ABCD=S△EFG，取FG中点M，EM平分四边形。
等分面积·中线倍长求S△CDF — AD中线⟹S△ACD=½S△ABC；DE=DA同底DC⟹S△DCE=S△ACD；DF中线⟹S△CDF=½S△DCE=¼S△ABC。S△ABC=2时S△CDF=½。
等分面积·矩形中点连线求ABGD — 矩形ABCD中E、F为BC、CD中点，DE、BF交于G(⅔b,⅓a)。S四边形ABGD=S矩形−S△GBC−S△GCD=⅔ab。
等分面积·筝形PQ平分求CQ — 筝形AB=BC=4/AD=CD=8/∠A=∠C=90°。割补法：连AC、BE∥AC把四边形割补成等积△AED，P落在AD边上，模型1-02求Q，CQ=16/7。
等分面积·五边形过顶点平分求直线 — 五边形ABOCD（坐标）S=12，过顶点A的直线交OC于M(1.5,0)使两部分各6，直线AM:y=(8/3)x−4。
等分面积·五边形过顶点平分(等积变换) — 过五边形顶点A平分：连AO作BB₁∥AO、连AC作DD₁∥AC两次等积变换，把五边形化为等积△AB₁D₁，取B₁D₁中点M连AM即平分，M在OC上、直线y=(8/3)x−4。
等分面积·正五边形作平分线 — 正五边形是轴对称图形，连一顶点A与对边CD中点M，AM是对称轴，把正五边形分成全等(等积)两半。
等分面积·圆的两直线四等分 — 圆是中心对称图形，过圆心任一直径平分面积；过圆心作两条互相垂直的直径，得四个全等扇形，各¼。
等分面积·平行四边形过定点平分 — 平行四边形是中心对称图形，中心O为对角线交点；过中心的任一直线平分面积，连PO并延长即所求。
等分面积·平行四边形外点平分求线段 — 过 AD 延长线上一点 E 的直线平分 ▱ABCD 面积 ⟹ 直线必过中心 O；△AON≌△COM 得 AN=CM，再由 △EDM∽△EAN 列比例求 CM=9/4。
等分面积·组合六边形平分 — 矩形挖去小正方形得六边形。矩形、正方形都中心对称，连矩形中心O₁与正方形中心O₂的直线同时平分两者，故平分其差(六边形)。
等分面积·矩形花园两路四等分 — 矩形花园四块相等⟹MN、EF都过中心O。M定得N(80,0)、MN=60√2；A区=1500定得E(0,12)/F(100,48)、EF=4√706；MN+EF=60√2+4√706。
等分面积·菱形边上定点平分求截线长 — 菱形中心对称 ⟹ 平分线必过中心 O；△AOE≌△COF（ASA）得 CF=AE=2；作两条高线借矩形转化，Rt△EGF 勾股得 EF=√(27+1)=2√7。
面积法证明角平分线定理 — AD 平分∠BAC：同一个面积比用两把尺子各读一次——以 BD、DC 为底读得 BD:DC，以 AB、AC 为底（高 DE=DF）读得 AB:AC，两个读数必然相等。
角分线与面积相关 — I 是三条角平分线的交点：过 I 向三边作垂线 ⟹ ID=IE=IF=r，三块面积拼出 S△ABC=½(AB+BC+CA)·r，等高的三块面积比=三边比。
面积法证明外角平分线定理 — AE 平分外角∠CAD：同一个面积比用两把尺子各读一次——以 BE、CE 为底读得 BE:CE，以 AB、AC 为底（高 EG=EF）读得 AB:AC，两个读数必然相等。
板材裁最大圆·内切圆半径·2024陕西副题·大压轴 — △ABC 板材（AB=100，BC=160，AC=140）裁最大圆：没贴住边就还能胀 ⟹ 最大圆=内切圆、圆心=内心；面积法两把尺子读同一面积 ½(AB+BC+CA)·r=½·BC·AH ⟹ r=20√3。

一次函数

一次函数图象·上下平移与水平平移 — 同时展示 y=kx+b 与 y=k(x−h) 两种视角；b 和 h 联动；显示直线与 x 轴夹角 θ，k = tan θ。
一次函数图象·对称变换 — 原直线 y=kx+b（黑），分别关于 x 轴、y 轴、原点对称得新直线（彩虚），直观对比 k 和 b 的变化规律。
一次函数·坐标三角形面积（S=b²/2|k|） — 直线 y=kx+b 交两轴于 A、B，与 O 围成 △OAB：OA=|b/k|、OB=|b| ⟹ S=½·OA·OB=b²/(2|k|)，斜率定时面积∝b²。
将军饮马·一次函数（PC+PD 最小） — C、D 同侧、P 在 x 轴：作对称点 C′ ⟹ PC+PD=PC′+PD≥C′D，求直线 C′D 解析式令 y=0 定 P=(4,0)，最小=4√2。
搭桥·一次函数（AM+桥+NB 最短） — 桥 MN 垂直河岸定长：把 A 沿桥向平移得 A′ ⟹ AM=A′N，AM+NB=A′N+NB≥A′B，求直线 A′B 定桥位 N=(2,0)，最短=3√5+2。
等腰三角形存在性·两圆一线 — △ABP 等腰、P 在 x 轴：分 PA=PB（中垂线）、AP=AB（圆A）、BP=AB（圆B）三类，两圆一线与 x 轴相交共 5 个 P。
等腰三角形存在性·面积定C+等腰定P — y=4/3x+8过A(−6,0)、B(0,8)。C在坐标轴S△ABC=12得4个C；P在x轴△ABP等腰，两圆一线得4个P。
等腰三角形存在性·代数法 — 代数法盲算：A(−6,0)、B(0,8)，P(t,0)使△ABP等腰。设P(t,0)算PA²/PB²/AB²，三边两两相等分三类：PA=PB得7/3、PA=AB得4或−16、PB=AB得6(−6舍)，共4个P。与两圆一线几何版一题多解。
直角三角形存在性·两线一圆 — y=−4/3x+4过A(3,0)、B(0,4)，AB=5。C在坐标轴上使△ABC直角，两线一圆：过A、B作AB垂线得C₁(0,−9/4)、C₂(−16/3,0)，以AB为直径圆过O得C₃=O。共3个C。与代数法一题多解。
直角三角形存在性·代数法 — y=−4/3x+4过A(3,0)、B(0,4)，AB=5。C在坐标轴上使△ABC直角，代数法盲算：设C(t,0)/(0,s)算AC²/BC²/AB²，按斜边分三类，C=A、C=B退化舍，得C₁(0,−9/4)、C₂(−16/3,0)、C₃=O。共3个C。与两线一圆几何版一题多解。
直角三角形存在性·平移 — 直线AB:y=−½x+1沿l:y=x+1平移距离d，△A′B′C直角三角形：∠A′CB′=90°得d=3√2/2，∠A′B′C=90°得d=3√2，∠B′A′C无解。
等腰直角三角形存在性·直角边 — y=2/3x+2过A(−3,0)/B(0,2)。D在第二象限、△DAB以AB为直角边等腰直角：∠A=90°得D₁(−5,3)，∠B=90°得D₂(−2,5)。
等腰直角三角形存在性·两个正方形 — y=2/3x+2过A(−3,0)/B(0,2)，AB=√13。D在第二象限、△DAB以AB为直角边等腰直角。两个正方形法：AB两侧作正方形，顶点(直角边)+中心(斜边)得6个等腰直角顶点，筛第二象限+直角边得D₁(−5,3)、D₂(−2,5)。与直角边构造版一题多解。
平行四边形存在性·中点坐标法 — 矩形折叠B落AD上G(0,4−√3)，EF:y=−√3x+4+√3。M在EF、N在坐标轴使MNFG平行四边形，对角线三配对共4个M。
平行四边形存在性·坐标平移法 — 矩形折叠B落AD上G(0,4−√3)，EF:y=−√3x+4+√3。M在EF、N在坐标轴使MNFG平行四边形，坐标平移法：对边平行且相等(平移向量)定M——FG对角线M=F+G−N、FG为边M=N+G−F(N在x/y轴)、GF为边M=N+F−G。共4个M。与中点坐标法一题多解。
菱形存在性·两圆一线 — 直线y=x−2交轴A、B，C(0,4)。BC=6，D在AB上、BCDE菱形：BC对角线得E(−3,1)，BC为边得E(6,−2)、(3√2,4+3√2)、(−3√2,4−3√2)，共4个E。
菱形存在性·中点坐标法 — 直线y=x−2交轴A(2,0)/B(0,−2)，C(0,4)，BC=6。D在AB上设D(d,d−2)，BCDE菱形。中点坐标法盲算：对角线中点重合定E——①BC对角线E=2M−D=(−3,1)；②BC边邻C E=B+D−C=(6,−2)；③BC边邻B E=C+D−B=(±3√2,4±3√2)。共4个E。与两圆一线几何版一题多解。
矩形存在性·两线一圆 — 矩形OABC绕O转90°得△ODE，BD:y=−2/3x+8/3，S△BCF=4/3。矩形DFMN(M在轴)：两线一圆定直角顶点M、中点坐标法定N，共3个N。
矩形存在性·坐标平移法 — 矩形OABC绕O转90°得△ODE，BD:y=−2/3x+8/3交y轴F(0,8/3)。DFMN矩形(平行四边形+对角线相等)，坐标平移法定N：DF对角线N=D+F−M、DF边邻F N=D+M−F、DF边邻D N=F+M−D。M在坐标轴得3个N。与中点坐标法一题多解。
倍角·一次函数（∠PAO=2∠CAO） — 把 O 关于直线 AC 对称得 O′：AO=AO′ 等腰、AC 平分顶角 ⟹ 射线 AO′ 交 y 轴于 P，∠OAC=∠CAP ⟹ ∠PAO=2∠CAO。
一次函数·等腰直角△·全等求BC — y=-3/4x+3交坐标轴于A(4,0)、B(0,3)，以AB为边作等腰直角△ABC(∠BAC=90°)，作CD⊥x轴证△AOB≌△CDA得C(7,4)，BC解析式y=1/7x+3。
一次函数·折叠·全等求C — y=4/3x+4交坐标轴于A(-3,0)、B(0,4)，C在y轴上，沿AC折叠使B落在x轴D处→AD=AB=5→D(2,0)→CB=CD→勾股得C(0,1.5)。
一次函数·垂足·全等求B — A(0,4)，B、C在x轴上，BE⊥AC于E交y轴于D，BD=AC→勾股得B(−4,0)，△AOC≌△BOD。
一次函数与全等三角形 — 拖C看直线DE纹丝不动；对称造F+同加公共角得△FBC≌△ABD(SAS)⟹∠BDA=∠BCA⟹8字型(对顶角+内角和)导角∠DAC=60°⟹E(0,−√3)，待定系数得DE:y=√3x−√3；截AH=AC再全等得AD=AB+AC=3。
一次函数+全等+比值定值 — 转 y=kx 看 AH+BQ 不变；AAS 得 G 联立得 F(−¾,−¾)；ASA 得 BQ=HC，拼接 AH+HC=AC=AB ⟹ 比值 1。
一次函数与异侧一线垂直 — 拖D看OE=AF纹丝不动；对称造45°+OA=AB，一线三垂直AAS得OE=AF；两边分别垂直再ASA得H(2,1)。
一次函数与全等三角形（B1-3） — 拖A、B看C恒压y=x；双垂线AAS得CN=CM；线段和差得CE=ED⟹CD⊥OC；截取OG=CE造SAS+垂直平分拼出OF=CE+EF。
一次函数+斜边中点 — 双垂线AAS得C(3,3)；中点+小勾股得MN=√2/2；旋转保长造等腰⟹B是AQ中点⟹DO过Q得y=−x⟹P(−2,2)。

反比例函数

反比例 k·一点一垂线（S=½|k|） — P=(x,k/x) 向 x 轴作垂线 PA：OA=|x|、PA=|k/x| ⟹ S△OPA=½·|x|·|k/x|=½|k|，与 P 位置无关恒为定值。
反比例 k·两点一垂线（S矩形=|k|） — P₁、P₂ 在双曲线上，分别向坐标轴作垂线：两矩形面积 |x₁y₁|=|x₂y₂|=|k|，与位置无关恒为定值。
反比例 k·两点模型（△OAB 面积） — A、B 在 y=4/x 上且 A 在 B 左侧：作两条垂线，利用两个面积均为 2 的小三角形抵消，把 △OAB 转化为梯形 AA′B′B 求面积。
反比例 k·等积变形（面积守恒） — P 在双曲线上：矩形 OAPB 面积=|k|=4、S△OPA=S△OPB=½|k|=2——形状可变、面积不变量。
反比例 k·最小距离（OP 最小值） — P 在双曲线上：OP²=x²+(k/x)²=(x−k/x)²+2k≥2k（配方），等号当 x=√k=2 时取到，OP_min=√(2k)=√8≈2.83。
反比例 k·对称与全等（△OAC≌△OA′D） — A 关于 y=x 对称得 A′ 也在双曲线上；O→O、A→A′、C→D ⟹ △OAC≌△OA′D，面积同为 ½|k|。
反比例函数 ·|K|的几何意义·跨象限 — A、C 分居双曲线两支，P、Q 分别在正半轴上自由移动；取绝对值后两个阴影三角形的底高积仍均为 |k|。
反比例函数 ·|K|的几何意义·跨象限 — A、C 同在双曲线第一象限分支，P、Q 分别在两坐标轴上自由移动；底乘高均为 |k|，所以两个阴影三角形始终等积。
反比例函数·平行与比例·跨支 — 双曲线异支两点确定跨象限矩形，由坐标等积转成线段比例，再用逆定理判定平行。
反比例函数·平行与比例·同支 — 双曲线同一支上的两点确定矩形，由坐标等积转成线段比例，再用逆定理判定平行。
反比例函数·割线等长·异支内截 — 割线先后交双曲线两支及两坐标轴于A、B、C、D，由交点根和确定公共中点，得到AB=CD。
反比例函数·割线等长·同支外截 — 割线先后交坐标轴与同一支双曲线于A、B、C、D，由交点根和确定公共中点，得到AB=CD。
反比例函数·割线等长·两曲线 — 同一直线依次交两条反比例函数图象于A、B、C、D，两组交点根和相等，得到AB=CD。
反比例·不变性结构（矩形=|k|·△=½|k|·△=梯形） — P 在 y=4/x 上：S矩形=xy=4、S△=½·4=2 与位置无关；两点时两个 ½k 小三角形对消，S△OPQ 转化为梯形 PMFQ。
反比例·不变性应用·比例求矩形面积 — 矩形 OABC 中 y=6/x 交 AB 于 E：钥匙①得 S△AOE=½·AE·OA=3（与 h 无关）；AE:EB=1:3 ⟹ AB=4AE ⟹ S矩形=4·AE·OA=8·S△AOE=24。
反比例·不变性应用·矩形中点求k — 矩形OABC的边AB中点D在双曲线上、双曲线交BC于E：反用「坐标矩形面积=|k|」两把钥匙，得S矩形=2|k|、E也是中点，于是S△BDE=|k|的四分之一，由S△BDE=1反解k=4。
反比例·不变性应用·矩形比例反求k — 矩形 OABC 中 y=k/x 交 AB 于 D、交 BC 于 E：BE=4CE ⟹ BC=5CE ⟹ S矩形=5·CE·OC=5k，减去两个 k/2 小三角形，S(ODBE)=4k=8，k=2。
反比例·不变性应用·矩形两边中点四边形 — 矩形 OABC 中双曲线 y=2/x 过 AB 中点 E、BC 中点 F：ab=4 锁死 ⟹ 钥匙① S△OAE=S△OCF=1 ⟹ 连 OB 中点等积 S△OBE=S△OBF=1 ⟹ S(OEBF)=2。
反比例·不变性应用·两点梯形求面积 — y=6/x 上 A(2,3)、B(6,1)：作 AD⊥x轴、BC⊥x轴，两个 ½|k| 小三角形对消，S△AOB 转化为梯形 ADCB=½×(3+1)×4=8。
反比例·不变性应用·等积对消比较 — y=4/x 上 P、C 两点各作 x 轴垂线 PA、CD，OC 交 PA 于 E：两个 ½|k| 小三角形同减公共部分 △OEA，得 S1=2 且 S2（梯形CEAD）=S3（△POE）。
反比例·不变性应用·y轴侧梯形转化 — y=3/x 上 A、B 两点各作 y 轴垂线 CA、DB：两个 ½|k| 小三角形同减公共部分 △ODE 得等积一对，梯形 CABD 与 △ABO 都是「这一对+公共的 △AEB」，故梯形=S△ABO=8，选 C。
反比例·不变性应用·横坐标a与3a — A、B 在 y=k/x 上，横坐标 a 与 3a：钥匙①两直角三角形对消 ⟹ S△AOB=梯形 ADEB=½(k/a+k/3a)·2a=4k/3=12 ⟹ k=9。
反比例·不变性应用·过对角线交点 — 矩形OABC的对角线交点P在双曲线上、双曲线交AB于D、交BC于E：中点坐标定k=2，作EF⊥x轴，两个½|k|小三角形对消，S△ODE转化为梯形EFDA的面积15/4。
反比例·不变性应用·平行四边形 — ▱OABC 的对角线交点 D 与顶点 C 都在双曲线 y=k/x（k<0）上、面积为 12：钥匙①用两次得两个 ½|k| 小三角形，中位线+等积反推得 OA=3OE，面积链 3|k|/2=6 ⟹ k=−4。
反比例·不变性应用·平行四边形另解·梯形转化 — 题面同上一题（▱OABC 面积为 12，C、D 在双曲线上）：另解——对角线减半再减半得 S△OCD=3，回到第 1 题结构对消成梯形 CEFD；△ADF∽△ACE（AA）面积比 ¾ 合成，¾|k|=3 ⟹ k=−4。
反比例·不变性应用·斜边比例求k — Rt△BOC 中 y=k/x 过斜边上点 A（AO:AB=2:3）、交 BC 于 D：作 AH⊥x 轴得 △OAH∽△OBC（面积比 4/25）；钥匙① S△OAH=S△ODC=k/2=x，S△OBC=x+21 ⟹ x/(x+21)=4/25 ⟹ x=4 ⟹ k=8。
反比例·不变性应用·斜边2:1求k — Rt△OMN 中 y=k/x 过斜边上点 A（OA=2AN）、交 MN 于 B：作 AC⊥x 轴得 △OAC∽△ONM，面积比=(2/3)²=4/9；S△OBN=(3/2)·5=7.5，设钥匙△面积 x：x/(x+7.5)=4/9 ⟹ x=6 ⟹ k=12。
反比例·不变性应用·平行四边形判定 — A(3,2)、M 在 y=6/x 上：直线 AM 交 x 轴于 Q，MP⊥x 轴于 P。M 怎么动 PQ 恒=3=AB，且 AB∥PQ ⟹ 一组对边平行且相等 ⟹ 四边形 ABPQ 恒为平行四边形。
反比例·不变性应用·面积反求点B — A(4,3/2) 在 y=k/x 上、B 在 A 左上段：BC∥OD ⟹ S△BCD=S△BOC=k/2=3（等积对消）；S△ABD=4−3=1=½·(3/2)·(4−x_B) ⟹ x_B=8/3 ⟹ B(8/3,9/4)。
反比例·不变性应用·结论判断①~⑤ — C、D 在 y=2/x 上，直线 CD 交两轴于 A、B：待定系数求截距 ⟹ ③△OEF∽△OAB 判 EF∥AB、④Rt△AGD≌Rt△CHB 判 AD=BC（恒成立）；①C 为 BD 中点时 S△OCB=3/2 成立；②⑤ 不成立。正确的是 ①③④。
反比例函数·割线等长·异支内截·等积造平行 — 割线先后交双曲线两支及两坐标轴于A、B、C、D，由同底等积推得割线平行于辅助线EF，两个平行四边形同借EF，得到AB=CD。
反比例函数·平行与比例·跨支·等积造平行 — 双曲线异支两点C、E确定跨象限矩形；轴上自由点与垂足组成的三角形面积恒|k|/2，滑到特殊位置后同底等积判平行，再由平行线分线段成比例得线段比。
反比例k·一点一垂线·等腰△面积不变 — P 在 y=6/x 上，PA⊥x 轴于 A，B 在 y 轴上且 PB=AB（等腰）；作 BC⊥PA 则 BC=OA，面积 ½·(6/x)·x=3 与 P 位置无关。
反比例k·一点一垂线·三等分求k — A、B 在 y=k/x（k<0）第二象限支，AM、BN⊥x 轴于 M、N，射线 AB 交 x 轴于 C，OM=MN=NC，四边形 AMNB 面积为 4；拆分 △AOC 用 |k|/2 列方程解得 k=−16/3。
反比例k·一点一垂线·OM截垂线求面积 — P(2,3)、M(a,2) 在 y=k/x 上，PA、MB⊥x 轴，OM 交 PA 于 C；先定 k=6 与 a=3，再由 OM 解析式求 C(2,4/3)，S△OAC=½×2×(4/3)=4/3。
反比例k·一点一垂线·竖切作差求面积 — 平行 y 轴的直线切 y=10/x 于 A、y=6/x 于 B，公共垂足 C；S△AOB=S△AOC−S△BOC=10/2−6/2=2，与切线位置无关。
反比例k·一点两垂线·截内支定值 — P 在 y=4/x 上，PA∥y 轴、PB∥x 轴交 y=1/x 于 A、B；PA=3/x、PB=3x/4，S△PAB=½·(3/x)·(3x/4)=9/8 为定值。
反比例k·一点一垂线·横切作差反求 — 平行 x 轴的直线切 y=k₁/x 于 A、y=k₂/x 于 B，公共垂足 C 在 y 轴上；S△AOB=(k₂−k₁)/2=2 反解得 k₂−k₁=4，与切线高度无关。
反比例k·一点一垂线·异号作和反求 — M 在 y 轴正半轴，过 M 的水平线交 y=k/x（k<0）于 A、交 y=4/x 于 B；S△AOB=2+|k|/2=3 反解得 k=−2，与水平线高度无关。
反比例k·两曲一平行·矩形正方形求k — 矩形 OABC 与正方形 ADEF（面积 16）如图，B、E 在 y=k/x 上，BF=2AF；AB=12，由 12a=4(a−4) 得 a=−2，k=−24。
反比例k·两曲一平行·双正方形黄金分割 — 正方形 OABC 面积 1、正方形 ADEF 的 E 与 OABC 的 B 都在 y=k/x 上；B(1,1) 得 k=1，E(1+a,a) 由 a(1+a)=1 得黄金分割，E((√5+1)/2,(√5−1)/2)。
反比例k·两矩形重叠·作差求和 — A、B 在 y=4/x 上各向两轴作垂线围成矩形，重叠面积 1.7；两矩形面积各为 |k|=4，S1+S2=4+4−2×1.7=4.6。
反比例k·台阶矩形·裂项相消 — y=2/x 上 Pi 横坐标依次为 1..n，台阶矩形 Si=2/i−2/(i+1)，裂项相消得 S1+…+Sn=2−2/(n+1)=2n/(n+1)；滑杆控 n 看台阶增减。
反比例k·两点一垂线·结论判断 — y=kx 与 y=−8/x 交于 A、C，A 横坐标 −4；A(−4,2) 得 k=−1/2 ①对，图解 kx<−8/x 得 −4<x<0 或 x>4 ②对，S△ABC=4+4=8≠16 ③错，选 C。
反比例k·两点一垂线·对称翻倍 — y=kx(k<0) 与 y=−4/x 交于 A、B，BC⊥y 轴于 C；S△COB=|k|/2=2，OA=OB 等底同高得 S△AOC=2，S△ABC=4 与 B 位置无关。
反比例k·两点一垂线·垂足在x轴 — 过 O 的直线交 y=√2/x 于 A、B，AC⊥x 轴于 C；S△AOC=√2/2，OA=OB 等底同高得 S△BOC=√2/2，S△ABC=√2 与 A 位置无关。
反比例k·两点一垂线·反求k — y=x 与 y=k/x 交于 A、B，AC⊥y 轴于 C，S△ABC=3；设 A(a,a) 得 S△ABC=a²=3，a=√3，k=√3×√3=3。
反比例k·两点两垂线·中点翻倍 — y=kx 与 y=−4/x 交于 A、C，AB⊥x 轴于 B、CD⊥x 轴于 D；S△ABO=|k|/2=2，O 是 BD 中点，S△ABD=2×2=4 与 A 位置无关。
反比例k·两点两垂线·中位线反求k — y=kx 与 y=k/x（k<0）交于 A、C，AB∥y 轴、BC∥x 轴，S△ABC=4；交点横坐标 ±1，DO 是中位线，S△ABC=4×|k|/2=2|k|=4 ⟹ k=−2。
反比例k·两点两垂线·平行四边形 — y=kx（k>0）与 y=1/x 交于 A、C，垂足 B、D；对角线 AC、BD 都被 O 平分 ⟹ ABCD 是平行四边形，四块等积各 1/2，S=2。
反比例k·两点两垂线·全等拼矩形 — 直线交 y=−2/x 于 A、交 y=3/x 于 B，P 为 AB 中点；作 AF、BE 垂 y 轴 ⟹ △APF≌△BPE，梯形面积拼成两矩形 |−2|+|3|=5。
反比例k·两点一外点·轴截分割求面积 — 直线与 y=k/x 交于 A(−4,1)、B(1,m)；先定 k、m 得直线 y=−x−3 与 D(0,−3)，y 轴分割 △AOB：S=½·OD·(AM+BN)=15/2。
反比例k·两点一外点·逐次减半反求k — 过原点的直线交 y=k/x 于 B、A，C 在 x 轴负半轴且 BC=½BA，S△BCA=12；原点对称得 OB=BC，逐次减半到 S△OBE=|k|/2=3 ⟹ k=−6。
反比例k·两点一外点·斜边中线反求k — y=k/x 与 y=(4/3)x 交于 A、B，C 在 x 轴正半轴且 ∠ACB=90°，S△OCD=25；设 A(3a,4a)，斜边中线 OC=5a，BC 定 D(0,−5a/2)，面积反解 a=2 ⟹ k=48。
反比例k·两点一外点·斜边中线求解析式 — y=−(4/3)x 与 y=k/x 交于 A、B，C 在 x 轴负半轴且 ∠ACB=90°，S△ABC=10；斜边中线 OC=−5a/3，x 轴分割面积反解 a=−3√2/2 ⟹ k=−6。
反比例k·两点与原点·中点等距求k — 直线交 y=k/x 于 A、B，交 x 轴于 C，B 为 AC 中点，OM=2MC，S△OAC=12；作 AN⊥x 轴得 ON=NM=MC=a，½·3a·b=12 ⟹ k=ab=8。
反比例k·两点与原点·矩形减两块求k — 矩形 OABC 中双曲线交 AB 于 D、交 BC 于 E，BD=3AD，S四边形ODBE=21；矩形面积 4k 减去两个 k/2 ⟹ 3k=21 ⟹ k=7。
反比例k·两点与原点·双三角形面积差 — A(3/2,4)、B(3,m) 是直线与 y=n/x 的交点，D(0,1)；先定 y=6/x 与 y=−(4/3)x+6，再算 S1=S△ABC=3、S2=S△ABD=15/4，S2−S1=3/4。
反比例k·异号双曲线·对称等高定面积 — y=kx 与 y=−2/x 交于 A、B，过 A 作水平线交 y=4/x 于 C；A(a,−2/a) ⟹ B(−a,2/a)、C(−2a,−2/a)，S△ABC=½·(−3a)·(−4/a)=6 为定值。
反比例k·异号双曲线·竖切双动点定面积 — 过 x 轴上任意 P 作竖直线交 y=3/x 于 B、交 y=−6/x 于 A，C 是 y 轴任意点；AB=9/a、高 CD=a ⟹ S△ABC=9/2 与 P、C 均无关。
反比例k·异号双曲线·等积平移求m−n — A 在 y=m/x、B 在 y=n/x（x>0，n<0），AB⊥x 轴，C 在 y 轴上，S△ABC=2；等积平移到 △ABO 后按 x 轴分割 ⟹ (m−n)/2=2 ⟹ m−n=4。
复式双曲线·竖直截线面积差（△=½(k₁−k₂)） — 两条同号双曲线 y=4/x 与 y=2/x：过外曲线上一点 P 作 x 轴垂线截内曲线于 Q，所得 △PQO 面积恒为 1（两 k 之差的一半），与 P 的位置无关。
复式双曲线·同号比例关系（截线比=k₁:k₂·射线比=√(k₁:k₂)） — 两条同号双曲线 y=4/x 与 y=2/x：水平、竖直截线被两曲线分出的线段比恒为 k₁:k₂=2；原点射线先后穿过两曲线，射线被截得的线段比恒为 √(k₁:k₂)=√2——两组等比各推出一对平行线。
复式双曲线·一垂截两曲线（已知面积反求 k） — 双曲线 y₁=4/x 与 y₂=k/x（k>4）：A 在 y₁ 上，水平线交 y₂ 于 B、y 轴于 C。由 S△AOB=1 反推：S△AOC=2（k₁ 的一半），S△BOC=2+1=3，于是 k=2×3=6。
复式双曲线·筝形四结论判断（①③④正确） — P 在 y=4/x 上，竖直、水平截线交 y=1/x 于 A、B：①两个 ½k₂ 小三角形面积相等；②PA=PB 只在 p=2 一瞬间成立（动态反例）；③筝形 PAOB 面积恒为 k₁−k₂=3；④AC 恒为 AP 的三分之一。
复式双曲线·异号双曲线（▱面积=|k₁|+|k₂|·反求 k） — y=2/x 与 y=−3/x 分居 y 轴两侧：水平截线截出的 △OAB 面积恒为两 |k| 之和的一半，以其为边的平行四边形面积恒为 |k₁|+|k₂|=5；反过来由面积 5/2 与截线比 2:3 可联立反求 k₁=2、k₂=−3。
复式双曲线·跨象限双截线（反求 k₁−k₂） — A、B 在 y=k₁/x 上，C、D 在 y=k₂/x 上（k₂<0），AC⊥y 轴于 E、BD⊥y 轴于 F。面积桥 S△AOC=S△BOD=(k₁−k₂)/2 把两条截线绑在一起：AC=2、BD=1 反推 OF=2·OE，EF=3 分配得 OE=1，于是 k₁−k₂=2。
复式双曲线·垂直相似（一线三垂直求 k） — A 在 y=2/x 上、B 在 y=k/x（x<0）上，OA⊥OB 且 tan∠OAB=√3。一线三垂直得 △OBD∽△AOC，面积比=(tan∠OAB)²=3；S△AOC=½·2=1 ⟹ S△OBD=3=|k|/2 ⟹ k=−6。
复式双曲线·筝形面积差（筝形=k₁−k₂） — 两条同号双曲线 y=4/x 与 y=2/x：外曲线上一点 R 向内曲线作水平线、竖直线，与原点围成的筝形 RSOT 面积恒为 2（两 k 之差），与 R 的位置无关。

二次函数

四边形面积最大·二次函数（铅垂高） — 连对角线 BC：S四边形ACPB=S△ABC+S△PBC，S△PBC=½·PH·水平宽，PH=-¾t²+3t 在 t=2 最大 ⟹ 四边形最大=13.5。
直角三角形存在性·二次函数（对称轴） — △BCQ 直角、Q 在对称轴：分 ∠Q（以 BC 为直径的圆）、∠B、∠C（两条垂线）三类，与对称轴交点共 4 个 Q。
平行四边形存在性·二次（第四顶点） — 平行四边形 ⟺ 对角线互相平分 ⟺ 中点重合 ⟺ 对顶点之和相等；按哪两点作对角线分三类，第四顶点共 3 个。
相似三角形·二次函数（△MON∽△BOC） — ∠MNO=∠BOC=90° 已有一组等角，只需两直角边成比例：ON∶NM=OB∶OC 或 OC∶OB，解出 M 在抛物线上 2 个位置。
二次函数+圆·平行四边形（求 PM） — AB 切 ⊙O 于 C；平行四边形 MOAC ⟺ MO=CA ⟺ M=(1,-1)，直线 OM:y=-x 交抛物线定 P，PM=OP-OM=√10。
二次函数+圆·加权最值（BP+½EP） — ⊙C 上动点 P：取 CF=½半径 ⟹ △CFP∽△CPE ⟹ FP=½EP，BP+½EP=BP+FP≥BF=√290/2。
倍角·二次函数（∠PAB=2∠ACO） — E 为 A 关于 y 轴对称点，△OCA≅△OCE ⟹ ∠ACE=2∠ACO、tan=¾ ⟹ AP 斜率=±¾ 交抛物线，P 有 2 个。
二次函数·线段上点构造相似三角形 — 公共角锁定相似对应关系，由 AC²=AB·AP 求候选点，再用三边对应成比例验证其确实存在。
题集E第1题·公共角与相似 — 外角排除∠APC=∠ABC后只剩∠APC=∠ACB，AC²=AB·AP解得唯一P(3/2,0)。
题集F第1题·线段AC上动点与相似 — 公共角45°锁定，两种夹边对应各出一解。
题集A第4题·线段BC上动点与相似 — OB=OC锁定45°公共角，再按两种夹边对应各解出一个P位置。
题集A第2题·线段OB上动点与相似 — PQ∥y轴锁定∠BPQ=∠BOC=135°定角，再按两种夹边对应各解出一个P位置。
题集E第4题·x轴上135°与相似 — ∠EAC=∠OCD=135°定角锁定两种夹边对应，各得一解。
速度比与相似 — AP/AQ=2/a为定值，公共角下两种夹边对应解出a=2√5/3或6√5/5。
二次函数+双动点与相似时刻 — 把两个匀速运动转化为同一时间参数，利用公共角按两种顶点对应列SAS比例，得到两个相似时刻。
题集A第3题·抛物线上动点与直角相似 — PD⊥x轴锁定直角对应，再按两种直角边对应各解出一个P位置。
题集C第3题·抛物线上动点与直角相似 — PM⊥x轴锁定直角对应；①得P(2,1)，②的两根一退化一出界均舍，唯一解。
题集C第5题·平行线直角与相似 — BD∥CA锁定△CBD直角在B，与△BPE直角在E对应；①得P(2/3,5/9)，②出界舍，唯一解。
题集F第3题·直线x=4右侧动点与相似 — 直角M≡直角O锁定，两直角边两种对应各出一解。
竖线最值与相似 — 竖线MN配方求最值4；Rt△NOQ对Rt△AOB按两种直角边对应各得一解。
题集F第4题·竖线截线与面积相似 — 竖线截抛物线与AD：面积分段配方取最大12；直角Q≡直角O，三种对应出三解。
第一象限动点与相似 — 勾股逆定理锁定△BOC直角在O，与△PMA直角在M对应；两种直角边对应各得一解。
题集D第1题·线段AB上两直角相似 — 公共角下△ACQ需直角：CQ⊥x轴得Q₁(1,4/3)，CQ⊥AB得Q₂(21/13,12/13)。
题集E第3题·直线上四点相似 — ∠PBC恒为直角，两种直角边对应各得两解，共四点。
题集F第2题·坐标轴上直角相似 — Rt△BCD两直角边比1:3，按直角在P/A/C三处各得一解。
题集F第5题·y轴上动点与相似 — △ACD直角在C、两直角边比1:3，按直角在M/B两处各得一解。
题集D第5题·竖线截双点与相似 — 竖线截出Q、M两点；直角在B时BQ⊥BD得Q(3,2)，直角在Q时Q与A重合(−1,0)。
二次函数+竖线动点与相似三角形 — 把动三角形化为横竖直角边之比，交换对应关系并结合绝对值分支，得到三个相似位置。
题集D第2题·全域动点与直角相似 — 直角对应下AM、PM含绝对值，按m分三段各解：P(2,1)、P(5,−2)、P(−3,−14)。
题集D第6题·全域四解与相似 — PM/OM=|m+2|取3或1/3，两种对应各得两解，共四解。
题集C第2题·对称轴上四点相似 — 勾股逆定理锁定△ABD直角在D，与△BMP直角在M对应；两种直角边对应各得|m|=5/4、|m|=5，上下对称共四解。
题集C第4题·等腰转化与相似 — PQ=PA的等腰条件把相似判定转化为AC=CD与AD=CD两个等式，各解出一个D。
题集E第2题·等腰直角与相似 — △ACD等腰直角锁定△DBE也为等腰直角，直角在E得D(−3,1)，直角在B得D(−2,2)。
题集E第5题·等腰120°与相似 — △OAB等腰120°定死，按Q位置分类+对称性，共三解。
二次函数综合·面积最值与相似存在性 — 先由轴交点确定抛物线，再把面积写成二次式；最后利用等腰直角结构分类求相似位置。
二次函数综合·直角构造与相似四解 — 先由轴交点确定抛物线，再由直角导出相似求C；最后分类相似对应，在原直线上得到四个P点。
抛物线平移·三边比证角与相似双解 — 由两零点确定平移后的抛物线，以三边比证明等角，再枚举对应关系得到两个存在点。
抛物线顶点·相似三角形三解 — 由顶点和原点确定抛物线，再根据等腰三角形的角与边分类求出三个相似解点。
二次函数+直线与抛物线·面积与相似 — 由轴交点确定抛物线，DE定长产生两个面积分支，再分类两种顶点对应得到两个相似位置。
二次函数+顶点与直线上点相似 — 先求抛物线与顶点，再用固定边CP锁定相似比例，按三边对应筛出直线AC上的两个Q点。
抛物线·相似三角形存在性 — 由固定的45°角分类讨论两种相似对应，第一种得到唯一合法参数，第二种化为矛盾而无解。
题集E第6题·含参抛物线与相似 — ∠EBC=45°定角，两种对应分类：①得m=2+2√2，②矛盾无解。
动顶点抛物线与相似 — 顶点随M移动的抛物线交y轴于C；公共角+公共边锁定唯一对应，解得m=8/9。
射线OB上动点与相似 — 斜率锁定∠AOP=90°与∠AOM=∠OAP定角，直角分在M、在A两类构造各出一解。
题集F第6题·旋转90°与直线相似 — 旋转90°得AB⊥BG、直角在B，BQ/BA=3或1/3，±两方向共四解。
定角等角·例1·1·∠DBP=45°存在性 — 定角45°→构造等腰直角△DBQ→一线三直角求Q(−1,3)→直线BQ交抛物线得唯一P(−2/5,66/25)。
定角等角·例1·3·∠ACP多值四连问 — 同一「作垂线+一线三直角求T→直线CT∩抛物线得P」套路，解∠ACP=45°/90°/60°/tan=2四问。
定角等角·∠DEA=45° — 拖D看∠DEA张合定位45°；动画呈现角度链：∠BCA沿截线滑到D、四点共圆(圆淡入)、同弧圆周角脉冲，得AE=3√5/2。
定角等角·例2·1·MN⊥CD与∠CMN=∠BDE — 等角∠CMN=∠BDE→tan值相等，借MN⊥CD的Rt△CMN把CN/MN锁为1/2，得M(5,12)、(7/3,−20/9)。
定角等角·例2·3·∠BAP=∠CAE — 定tan∠CAE=1/4（借等腰直角+ED⊥AC求得），令∠BAP=∠CAE经△EDA∽△PQA得PQ/AQ=1/4，解出P₁、P₂。
定角等角·例2·2·DE⊥BC最值与△CDE有角=∠CFO — DE⊥BC借相似化为DM二次函数取最值9√2/8；再令Rt△CDE一锐角正切=tan∠CFO=3，得D(3/2,15/4)、(5/2,7/4)。
定角等角·出门测·∠PAB=∠ACB — 先证△ABD∽△BCO(均等腰直角)，借BE⊥CA得tan∠ACB=1/2；令∠PAB=∠ACB即AP斜率±1/2，得P(7/2,5/4)、(5/2,−3/4)。
二次函数图象·顶点式 y=a(x−h)²+k 的缩放与平移 — 顶点起于原点；拖三个滑块看二次项系数a（可正可负）定开口朝向与宽窄、h左右平移、k上下平移；a=0退化为直线。
二次函数一般式 y=ax²+bx+c·系数与图象的关系 — 拖三个滑块：a定开口(可正负,a=0退化直线)、b让对称轴左右滑(左同右异)、c是y轴截距(上下平移)。
二次函数顶点式·图象的对称变换（x轴/y轴/原点/顶点） — 顶点式 y=a(x−h)²+k 关于x轴/y轴/原点/顶点对称：原图(黑)与像(蓝)同屏，实时对比 a、h、k 的变化规律。
二次函数一般式·图象的对称变换（x轴/y轴/原点/顶点） — 一般式 y=ax²+bx+c 关于x轴/y轴/原点/顶点对称：原图(黑)与像(蓝)同屏，实时对比式子里 a、b、c 的变号规律。
抛物线与面积定值 — 同底 AD ⟹ 面积相等 ⟺ 到 AD 铅垂高相等（CH=2）；分 E 在 AD 上/下两类，除 C 外得三个 E。

名校阶段测

等边·旋转中点轨迹最值 — 等边△ABC 中 CD 绕 D 转 120° 得 DE，F 为 BE 中点：F 轨迹是直线，CF 最小=½CG=1（30°所对直角边）。
菱形翻折·坐标法求 EF — 菱形 ABCD(AB=4,∠B=60°) 中 △BCE 沿 BE 翻折，BC′ 交 AD 于 F：坐标法求 EF=2√21/5。
矩形中线段差最大 — 矩形 ABCD(AB=6,AD=8) 中 O 为 AC 中点、M 在 AB(MA=1)、P 在 CD：PM−PO 最大=MO=2√5。
等腰直角旋转·面积最大 — 等腰直角△ACB(∠C=90°,AC=√2) 中 △BCD 绕 C 转得 △ACE：△ADE 直角于 A，面积最大=½。
角平分线对称·将军饮马最小 — Rt△ABC(∠A=90°,AC=3,AB=4) 中 CD 平分∠ACB：A 关于 CD 对称到 CB 上 A′，AP+PQ 最小=A′到AC=12/5。
矩形中多垂线段和最小 — 矩形 ABCD(AB=6,BC=8) 中 △EHG 等腰：MP+MQ=24/5 定值，加 MF 最小=3 ⟹ MP+MQ+MF 最小=39/5。
直角三角形旋转·求 AA′ — Rt△ABC(∠C=90°,BC=3,AC=4) 绕 B 逆时针旋转使 C′ 落 AB 上：A′C′⊥AB，AA′=√(4²+2²)=2√5。
定长中点轨迹·OD 最大 — A(6,0)、B(0,8)，AC=4，D 为 BC 中点：MD 中位线定隐圆 ⊙(M,2)，OD 最大=7，D=(21/5,28/5)。
手拉手·旋转全等+直角分类 — △ABC(AB=AC=8,∠BAC=75°) 中 AM 绕 A 转 75° 得 AN：手拉手证 BM=CN；△ANC 直角时 BM=4√2 或 8√2。
矩形菱形正方形·旋转构造三连 — 矩形/菱形/正方形旋转构造：(1)∠APQ=48° (2)∠BPQ=α/2 (3)等腰直角 BQ=2√5或2√10、五边形=110。
全等平行四边形旋转·DF最值与直角三角形 — 两全等▱绕B旋转：(1)DG=3√3 (2)DF∈[6−3√3,6+3√3] (3)直角△GDE四解 9√3/2、9√3、9(√11±√3)/2。
旋转探究·三栈道之和最值 — 正方形/矩形/圆内接四边形旋转：(1)BE+BF=BC (2)BF/BE=√2/2 (3)AB+BD+BC 最大=1000+1000√2。
旋转全等·线段和与 CQ 最值 — 旋转全等三连：(1)BQ+BP=BC (2)BC+CD=8√2 (3)Q 在定直线上、CQ 最小=2。
中点旋转全等·线段倍分 — 中点+旋转：(1)BE=CF=2m、BD=m+n、AH⊥EF且EF=2AH；(2)等边中△DE=2EH。
旋转最值 — 问题(2)手拉手中D：SAS全等→等腰证共线→CF=三分之根号3。问题(3)手拉手中B：旋转+平移+对称→min=400倍根号7。
2025大压轴（3） — 先证O的轨迹是MN，再由相切确定最大角位置，最后沿BF、OM、BD、BP求PA。
旋转缩放·BD最大时求AC — AB=5、BC=10，以 AC 为斜边作 Rt△ACD（∠ADC=90°，AD:CD=4:3）。绕 D 旋转 90° 缩 3/4 得 B′：BD=(4/5)BB′≤(4/5)(BC+CB′)=11；取等时 ∠ABC=90°，AC=5√5。

历年真题

2025.真题.小压轴:□内等边△面积最大值 — □ABCD AB=6 AD=8 ∠B=60°, M、N在AB、AD上AM=AN, 等边△MNP面积随AM增, P顶到BC时△ABP等边⟹AM=3⟹DN=5。
2024.真题.小压轴:四边形EBFC面积 — △ABC AB=AC=13 BC=10, E在AB上, BF∥AC且BF=AE。剪△AEC补等积△BFC⟹四边形EBFC面积=S△ABC=60(定值)。
2024.副题.填空压轴:菱形·四边形ABCE面积 — 菱形ABCD AB=5, BD=8。AE⊥AB交BD于E, 求四边形ABCE面积。
2023.真题.小压轴:矩形PM+PN定值求PC — 过 P 作 GH∥BC、PF⊥BC；△CDE 等腰直角 ⟹ PF=PH；垂线段最短 ⟹ PM+PN≥PG+PF=BC=4，取等 M=G、N=F；BM=BN ⟹ P=(2,2)、PC=2√2。
2021.真题.小压轴:正方形内圆·A到圆最大距离 — 正方形ABCD边长4, ⊙O半径1在正方形内平移。求A到⊙O上点的距离最大值。
2021.副题.小压轴:等边△周长最大值 — Rt△ABC ∠C=90° ∠B=30° AB=8。E,F在BC上, 等边△EFP在内部, 求周长最大值。
2020.真题.小压轴:菱形平分面积·EF — 菱形ABCD AB=6 ∠B=60°, E在AD上AE=2。过E平分菱形面积的直线交BC于F, 求EF。
2019.真题.小压轴:正方形PM−PN最大值 — 正方形ABCD AB=8, N为AO中点, M在BC上BM=6。P在BD上动, 对称转化得|PM−PN|≤MN'。
2019.副题.小压轴:菱形OE+OF最小值 — 菱形ABCD AB=4 ∠BAD=120°, O为中心。E在AB F在BC, 绕O旋转BC得B′C′∥AB, OE+OF化为两平行线间距=2倍根号3（旋转转化·PDF副题8）。
2018.真题.小压轴:中心三角形面积关系 — □ABCD, O为中心, AD>AB。E/F在AB上EF=AB/2, G/H在BC上GH=BC/3。S1和S2分别为△EOF和△GOH面积, 求等量关系。
2018.副题.小压轴:PM−PQ最大值 — 矩形ABCD AB=3,AD=4, Q为AC中点, M在AD上MD=1。P在BC上动, 三角形不等式求PM−PQ最大值。
2017.真题.小压轴:弦PB=AB·PA定长 — ⊙O R=5, △ABC内接, ∠C=30°。P在⊙O上PB=AB。圆周角定理+弦相等确定P，余弦定理求PA。
2017.副题.小压轴:角平分线·阴影面积 — Rt△ABC ∠B=90°, AC=3, BD平分∠B, AD=1。DE⊥BD, DF⊥AC构造全等转化阴影面积。
2016.真题.小压轴:菱形内△PBC等腰·PD最小值 — 菱形ABCD AB=2, ∠B=60°。P在菱形内使△PBC等腰，三情况分别求PD最小值。
2016.副题.小压轴:将军饮马·MN+MF最小值 — 正方形ABCD AB=4, E为BC中点, F在CD上DF=1。M∈AD, N∈AE, 对称转化将军饮马求MN+MF最小值。
2015.真题.小压轴:中位线MN最大值 — ⊙O中AB=6为弦, ∠ACB=45°。M/N为AB/BC中点, MN是中位线等于AC的一半, AC最大为直径。
2015.副题.小压轴:将军饮马·PA+PB最小值 — 半圆O R=5, MN直径, OB⊥MN=5, AB=4。P在MN上, 作B对称点, 将军饮马求PA+PB最小值。
2014.真题.小压轴:四边形MANB面积最大值 — ⊙O R=2, ∠AMB=45°, M/N在弦AB异侧。求四边形MANB面积最大值。
2014.副题.小压轴:弦AB·△AOB周长最小值 — ⊙O R=5, P内OP=3, 过P直线交⊙O于A/B。OH⊥AB→OH≤OP=3→AB_min=8→周长_min=18。
2013.真题.小压轴:定弦定角·GE+FH最大值 — ⊙O R=7, AB弦∠ACB=30°定, EF中位线∥AB=3.5交圆于GH。GE+FH=GH−3.5≤14−3.5=21/2。
2013.副题.小压轴:半圆·△COD面积最大值 — 半圆O直径AB=10，C/D在弧上。作CH⊥OD，Rt△OCH中CH≤OC=5⟹S=½·OD·CH≤25/2。
2025大压轴（3）·中位线轨迹求最大张角 — 比例平行构造出平行四边形，O的轨迹为中位线MN；定弦最大张角在相切位置取得，沿图中答案计算得PA为80/3m。
2024大压轴（3）·面积平分+定弦圆 — 先把五边形拆成平行四边形与三角形，面积平分锁定固定步道PF；再用定弦圆确定P，求得PF=1200+300√5米。